Dreifach periodische simpliziale Flächen

Wisotzky, Matthias; Plesken, Wilhelm (Thesis advisor); Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

Simpliziale Flächen sind in vielen Gebieten der Mathematik von Bedeutung und simpliziale Approximationen werden oft genutzt, um Eigenschaften von Flächen zu berechnen. Ferner bilden sie die Grundlage des mathematischen Origamis, einer noch jungen Disziplin der Mathematik. Diese Arbeit bietet eine Möglichkeit schnell und ohne Aufwand eine Vielzahl an simplizialen Flächen zu konstruieren und diese zu visualisieren. Für die Konstruktion werden kristallographische Raumgruppen genutzt, weshalb die Ergebnisse viele Symmetrien besitzen und mindestens dreifach periodisch sind. Die Konstruktion beginnt mit einem polyedrischem Fundamentalbereich einer Raumgruppe - solche lassen sich mittels der Voronoi-Dirichlet-Konstruktion leicht bestimmen. Eine in einen solchen Fundamentalbereich eingespannte simpliziale Fläche, dessen Spur in den Wänden des Fundamentalbereichs entweder eine Strecke, welche zwei Kantenmittelpunkte verbindet, oder leer ist, nennen wir Schnitt des Fundamentalbereichs. Diese Schnitte bilden die Bausteine der konstruierten Flächen. Eine dreifach periodische simpliziale Fläche lässt sich wie folgt aus zwei Raumgruppen (mit kompatiblen Fundamentalbereichen) konstruieren: Man setzt die Fundamentalbereiche der einen Gruppe zusammen, um einen Fundamentalbereich der zweiten Gruppe zu erhalten. Nun wählt man Schnitte für die ersten Fundamentalbereiche und wendet die Gruppe darauf an, um als Bahn die gewünschte Fläche zu erhalten. Damit dieses Verfahren funktioniert, sind einige Einschränkungen zu beachten, welche in den Definitionen der kompatiblen Fundamentalbereiche bzw. Schnitte vorgestellt werden. Stets gelingt dies, wenn man eine Raumgruppe, welche eine Spiegelungsgruppe ist, und eine Untergruppe davon wählt. Nun liefert eine geeignete Transversale der Untergruppe in der Gruppe einen zusammenhängenden Fundamentalbereich und jeder lokal passende Schnitt erzeugt eine Fläche. Neben der automatischen Konstruktion beginnt die Arbeit eine Klassifikation solcher Flächen. Hierbei ist das Hauptergebnis, dass sich ein Analogon zur Euler-Charakteristik, die sogenannte Euler-Torus-Charakteristik, ergibt, welche die Periodizität der Fläche ausnutzt. Die Berechnung dieser Invariante lässt sich leicht bewerkstelligen, da eine Version des Satzes von Gauss-Bonnet dafür gezeigt wird. Gesondert untersucht werden Flächen, bei denen die Schnitte in einem Tetraeder liegen und die Raumgruppe durch Spiegelungen erzeugt wird. In diesem Fall lässt sich eine Fläche besonders leicht beschreiben und man erhält aus den Kantengraphen der Fundamentalbereiche der größeren Gruppe ein eindimensionales Gerüst eines simplizialen Komplexes, welcher die Bestimmung des Zusammenhanges der Fläche und der Euler-Torus-Charakteristik erlaubt. Im Rahmen der Arbeit wurde ein Computerprogramm entwickelt, welches es dem Benutzer erlaubt selber Flächen in der Datenstruktur zu erstellen und die gefundenen Invarianten zu bestimmen. Dieses Programm wird in einem Kapitel dokumentiert und wurde für die Erstellung & Visualisierung der Beispiele genutzt.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Algebra und Darstellungstheorie [114410]