High-frequency inference for stochastic processes with jumps of infinite activity

• Statistik für stochastische Prozesse mit unendlich vielen Sprüngen basierend auf hochfrequenten Beobachtungen

Mies, Fabian; Steland, Ansgar (Thesis advisor); Bibinger, Markus (Thesis advisor); Podolskij, Mark (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

In der Theorie stochastischer Prozesse in stetiger Zeit, insb. in der Theorie der Semimartingale, spielen Unstetigkeiten durch Sprünge eine zentrale Rolle. Diese Arbeit beschäftigt sich mit statistischer Methodik für Prozesse mit unendlich vielen Sprüngen, sog. Sprüngen von unendlicher Aktivität. Derartige Prozesse können durch ihren Jump-Activity-Index (JA-Index) charakterisiert werden. Für Lévy-Prozesse ist dieser als Blumenthal-Getoor-Index (BG-Index) bekannt, welcher die kleinen Sprünge mit denen eines alpha-stabilen Lévy-Prozesses vergleicht. Es werden sowohl Inferenzmethoden für den BG-Index selbst vorgestellt, als auch Schätzer für den Drift und für die Volatilität, welche gegenüber Sprüngen von unendlicher Aktivität robust sind. Alle Methoden verwenden diskrete Beobachtungen des Prozesses, wobei die Zeiträume zwischen den Beobachtungen asymptotisch klein werden. Kapitel 2 enthält einen umfangreichen Literaturüberblick über dieses Forschungsgebiet der hochfrequenten Statistik. Kapitel 3 behandelt nichtparametrische Inferenz für Semimartingale, welche zugleich Markov Prozesse sind. Sowohl für den Drift als auch für den JA-Index werden Schätzer vom Nadaraya-Watson-Typ eingeführt und deren asymptotische Verteilung untersucht. Dabei wird der Fall betrachtet, dass einerseits die Zeiträume zwischen den Beobachtungen klein werden, und gleichzeitig der gesamte Zeithorizont der Beobachtungen wächst. Der Schätzer des Drift-Terms ist asymptotisch normalverteilt, auch wenn die Inkremente des Prozesses keine zweiten Momente besitzen. Des Weiteren haben die Sprünge keinen Einfluss auf die Grenzverteilung des Drift-Schätzers. Im Gegensatz zu vielen anderen Arbeiten wird ein zustandsabhängiger JA-Index betrachtet. Es stellt sich heraus, dass sich bestehende Schätzer des JA-Index auf diese nichtparametrische Situation anpassen lassen. Die resultierenden Schätzer werden vorgestellt und deren asymptotische Verteilung wird hergeleitet. Die Resultate dieses Kapitels beruhen auf einer neuen, analytischen Untersuchung des infinitesimalen Generators des Markov Prozesses. Dadurch können bedingte Erwartungswerte so approximiert werden, dass explizite Schranken für die Approximationsfehler verfügbar sind, wodurch verschiedene Bias-Terme effektiv abgeschätzt werden können. In Kapitel 4 wird die Konvergenzrate zur Schätzung des JA-Index für die Klasse der Lévy-Prozesse mit nicht-trivialem Diffusionsterm näher betrachtet. Die bereits bestehenden Methoden erzielen Konvergenzraten, welche die optimale Rate um einen polynomiellen Faktor beliebig kleiner Ordnung verfehlen. Diese Ansätze werden im Detail vorgestellt. Im Anschluss daran wird ein neuer Schätzer vorgestellt, welcher die optimale Rate bis auf logarithmische Faktoren erreicht. Außerdem wird gezeigt, dass die Fisher-Matrix in einem parametrischen Teilmodell asymptotisch singulär ist. Das legt die Vermutung nahe, dass die Konvergenzrate des neuen Schätzers tatsächlich optimal ist. Der vorgeschlagene Schätzer basiert auf einem System von Schätzgleichungen, welches gleichzeitig einen neuen asymptotisch optimalen Schätzer für die Volatilität liefert, der robust gegenüber Sprüngen von unendlicher Variation ist. Außerdem liefern die Schätzgleichungen auch Schätzer für die sog. successive BG-Indizes. Simulationsergebnisse deuten darauf hin, dass sich die neuen Schätzer in endlichen Stichproben besser als die bestehenden Ansätze verhalte, sowohl für die Volatilität als auch für den BG-Index.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Stochastik und Institut für Statistik und Wirtschaftsmathematik [116110]