Regularity aspects for combinatorial simplicial surfaces

Baumeister, Markus; Niemeyer, Alice Catherine (Thesis advisor); Plesken gen. Wigger, Wilhelm (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

Viele Eigenschaften kontinuierlicher Flächen (wie Sphären und Tori) übertragen sich auf leichter zu berechnende diskrete Eigenschaften kombinatorischer Flächen. Solche kombinatorischen Flächen entstehen aus Triangulierungen kontinuierlicher Flächen und basieren auf einer Inzidenzstruktur zwischen Mengen von Punkten, Kanten und Facetten. Der Fokus dieser Arbeit sind $\mathit{Regularitätsaspekte}$. Eine kombinatorische Fläche ist regulär, wenn jeder Punkt zu der selben Anzahl von Facetten inzident ist. Die Untersuchung regulärer Flächen ist deutlich einfacher als die Untersuchung generischer Flächen. Eine Kernidee dieser Arbeit ist es, Resultate aus dem regulären Fall auf den generischen Fall zu übertragen. Sie enthält vier Hauptprojekte: $\mathbf{(1)}$ Eine kombinatorische Fläche $S$ kann als $\mathit{Netz}$ mit gleichseitigen Dreiecken in $\mathbb{R}^2$ dargestellt werden. Wir können dieses Netz als Teilmenge eines hexagonalen Gitters auffassen, welches als reguläre kombinatorische Fläche $H$ interpretiert werden kann. Also besteht ein Netz aus einer Menge von Facetten in $H$, sowie einer Menge von Kantenpaaren, wobei jedes dieser Paare einer Kante in $S$ entspricht. Wir beschreiben diese Paare durch Automorphismen von $H$ und untersuchen die von diesen Automorphismen erzeugte Gruppe. Dann zeigen wir eine Korrespondenz zwischen dieser Gruppe und gewissen Eigenschaften von $S$ (wie Orientierbarkeit und der Existenz von Färbungen). $\mathbf{(2)}$ Modifikationen kombinatorischer Flächen werden oft untersucht. Wir betrachten $\mathit{Punktspaltungen}$ kombinatorischer Flächen mit genau einem Rand und suchen Eigenschaften, die unter solchen Modifikationen invariant bleiben. Zur Konstruktion dieser Eigenschaften erweitern wir die kombinatorische Fläche entlang ihrer Randes, sodass jeder neue Punkt zu genau sechs Facetten inzident ist. Diese Konstruktion liefert die $\mathit{unendliche}$ $\mathit{reguläre}$ $\mathit{Erweiterung}$, die unter Modifikationen der ursprünglichen Fläche unverändert bleibt. Im Anschluss klassifizieren wir kombinatorische Flächen über die möglichen Formen dieser Erweiterungen. $\mathbf{(3)}$ Eine kombinatorische Fläche kann aus einer Menge von Facetten konstruiert werden, wenn wir vorgeben, welche Paare von Kanten die gleiche Kante beschreiben. Für jedes Paar kann eine von zwei Identifikationen gewählt werden. Wenn wir alle diese Wahlen simultan umkehren, erhalten wir die $\mathit{geodätisch}$ $\mathit{duale}$ Fläche. Wir charakterisieren reguläre kombinatorische Flächen, die zu ihrer geodätisch dualen Fläche isomorph sind, indem wir eine Korrespondenz zu gewissen Untergruppen von Dreiecksgruppen ausnutzen. In den Fällen, wo jeder Punkt zu genau $d \leq 9$ Facetten inzident ist, erhalten wir eine vollständige Klassifikation. $\mathbf{(4)}$ Diese Arbeit ist nicht komplett theoretisch. Zusammen mit Alice Niemeyer wurde das $\mathtt{GAP}$-Paket $\mathtt{SimplicialSurfaces}$ entwickelt. Dieses Paket enthält effiziente Implementierungen kombinatorischer Flächen und vieler häufiger Algorithmen, sodass der Nutzer sich auf die zugrundeliegende mathematische Struktur konzentrieren kann. Hervorzuheben sind die Bibliothek von Flächen, die Hypothesentests deutlich vereinfacht, und eine flexible Umgebung für eigenen Code, was eine große Vielfalt verschiedener Forschungsanwendungen ermöglicht.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehr- und Forschungsgebiet Algebra [115320]