Efficient Monte Carlo description of multi-phase and multi-scale fluid flows in kinetic theory

Sadr, Mohsen; Torrilhon, Manuel (Thesis advisor); Jenny, Patrick (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

In dieser Doktorarbeit werden effiziente Partikelmethoden entwickelt, die den Phasenübergang und die mehrskalige Fluidströmung fernab des Gleichgewichts beschreiben. Im ersten Teil dieser Arbeit werden die kurz- und weiträumigen Wechselwirkungen durch einen kontinuierlichen stochastischen Prozess bzw. eine partielle Differentialgleichung vom Poisson-Typ modelliert, was den Einsatz effizienter Numerik in der Praxis ermöglicht. Insbesondere wird eine Gleichung vom Fokker-Planck-Typ entwickelt, um den Übergang des Wahrscheinlichkeitsmaßes zu modellieren, das mit dem zugrunde liegenden Sprungprozess der Enskog-Gleichung verbunden ist. Der Hauptvorteil gegenüber den direkten Monte-Carlo-Lösungsalgorithmen besteht darin, dass die Kosten der Geschwindigkeitsentwicklung von Dichte und Temperatur entkoppelt werden können, da die numerischen Kosten des mit der Fokker-Planck-Gleichung verbundenen It\={o}-Prozesses nur mit der Anzahl der Berechnungsteilchen skalieren. Darüber hinaus wurde ein effizienter Lösungsalgorithmus entwickelt, der das exakte Vlasov-Integral approximiert, d.h. ein Kernel, der weiträumige Wechselwirkungen von dichten Gasen und Flüssigkeiten bei moderaten Dichten beschreibt. Die Hauptidee besteht darin, das langreichweitige molekulare Potential mit der fundamentalen Lösung einer gut aufgestellten elliptischen partiellen Differentialgleichung in Beziehung zu setzen, was die Verwendung effizienter Poisson-Löser ermöglicht. Daher werden die Herausforderungen, die mit der Numerik des lokalen, Long-Tail- und hochdimensionalen Vlasov-Integrals für das Innere der Simulationsdomäne verbunden sind, durch die Einführung einer genauen globalen Lösung zu geringeren Kosten vermieden. Die erarbeiteten Modelle wurden in mehreren Testfällen gegen den Benchmark getestet, wie z.B. Deckel-getriebene Kavität, Couette-Strömung, Verdampfung bis zum Vakuum und invertierte Temperaturgradienten. Im Vergleich zum Algorithmus der direkten Monte-Carlo-Lösung wurde eine angemessene Genauigkeit bei geringeren Kosten erreicht. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird die Kopplung von Kontinuumserhaltungssätzen mit einer kinetischen Beschreibung von Flüssigkeitsströmungen fernab des Gleichgewichts untersucht. Die Abbildung von einem Maßstab auf einen anderen wirft mehrere Herausforderungen auf. Obwohl die Momente der Verteilung mit Hilfe von Stichproben einfach durch das Gesetz der großen Zahlen, die einem statistischen Rauschen unterliegen, geschätzt werden können, ist die Umkehrung ungünstig, was durch die Beschränkung der Lösung auf diejenige, die die Shannon-Entropie minimiert, d.h. die maximale Entropieverteilung (MED), gelöst werden kann. Die numerischen Herausforderungen in dem Problem der eingeschränkten Optimierung der MED motivierten diese Forschung. Als erster Schritt wird eine hochdimensionale Regressionsmethode auf der Grundlage des Gauß-Prozesses entwickelt, um eine genaue und effiziente Schätzung der MED für einen gewünschten Zeitraum von Momenten zu liefern. Dann wird ein Allpartikel-Lösungsalgorithmus entwickelt, um die approximierte Lösung des Navier-Stokes-Fourier-Gleichungssystems, z.B. Smoothed-Particle-Hydrodynamics, mit der Lösung der Boltzmann-Gleichung, z.B. der direkten Simulation Monte Carlo, zu koppeln. Der trainierte Gauß'sche Prozess wurde bei der Vorhersage der exakten MED-Lösung in mehreren Fällen getestet, z.B. die Relaxation der Verteilung zum Gleichgewicht, das durch die Boltzmann-Gleichung in einer homogenen Umgebung geregelt wird. Darüber hinaus wurde der erarbeitete Algorithmus der Hybridlösung durch Simulation des Sod-Stoßrohrs getestet. Insgesamt wurde eine angemessene Genauigkeit im Vergleich zum Benchmark mit einer Beschleunigung um zwei Größenordnungen erreicht.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Angewandte und Computergestützte Mathematik [115010]