Multilevel preconditioning of stabilized unfitted finite element discretizations

Ludescher, Thomas; Reusken, Arnold (Thesis advisor); Lehrenfeld, Christoph (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit werden neue Methoden zur iterativen Lösung von Interface-Problemen vorgestellt. Es werden zwei Problemklassen betrachtet: das Poisson-Interface-Problem und das Stokes-Interface-Problem. Dies sind Modellprobleme für den Massentransport und die Hydrodynamik in einem Zweiphasen-System. Für realistische Simulationen dieser Systeme hat man typischerweise mit einer bewegten Phasengrenze zu tun. In dieser Arbeit betrachten wir nur quasi-stationäre Probleme mit einer \emph{stationären} Phasengrenze. Um die Bedingungen eines realistischen Problems nachzuahmen, verwenden wir die Level-Set-Methode zur Beschreibung der Phasengrenze. In diesem Rahmen ist das Gitter \emph{nicht} an die Phasengrenze angepasst. Zusätzlich weisen die Modellprobleme Unstetigkeiten in der Lösung an der Phasengrenze auf, sofern die Materialkoeffizienten unstetig sind oder (im Falle des Stokes-Problems) Oberflächenspannungskräfte aufgeprägt werden. Bei der Anwendung eines iterativen Lösers auf diese Modellprobleme sind die Gitterweite, die Lage der Phasengrenze, sowie ein hoher Kontrast in den Materialkoeffizienten kritische Parameter. \\ \noindent Eine stabile Diskretisierung ist eine wesentliche Grundlage für den Entwurf eines robusten iterativen Lösers. Zur Approximation von Unstetigkeiten, die innerhalb von Gitterelementen auftreten, verwenden wir eine nicht-angepasste Finite-Elemente-Methode. Die Bedingungen an der Phasegrenze sind jedoch nicht Teil des Lösungsraumes und werden daher mit einer Nitsche-Technik schwach aufgeprägt. Innerhalb der Nitsche-Methode hat man eine gewisse Freiheit bei der Wahl der Mittelungsgewichte. Diese Gewichte werden so gewählt, dass wir Robustheit für hohe Kontraste in den Materialparametern erhalten. Um Robustheit in Bezug auf die Lage der Phasengrenze sicherzustellen wird eine Ghost-Penalty-Stabilisierung verwendet. Im Falle des Stokes-Problems hängt die Stabilität der Methode außerdem von der Wahl der Finite-Elemente-Räume für Geschwindigkeit und Druck ab. Hierfür verwenden wir ein $\cP_2$--$\cP_1$ Taylor-Hood-Paar, welches für angepasste Finite-Elemente-Methoden stabil ist, und fügen einen zusätzlichen Ghost-Penalty-Term für den Druck hinzu, um Robustheit für den nicht-angepassten Fall zu erhalten. Typischerweise wird bei der Diskretisierung die Approximationsgenauigkeit durch eine stückweise lineare Approximation der Phasengrenze limitiert. Um eine Geometrieapproximation höherer Ordnung zu erhalten, und damit auch eine Approximationsgenauigkeit von höherer Ordnung zu ermöglichen, verwenden wir eine isoparametrische Abbildung. Wir analysieren die Stabilitätseigenschaften der Diskretisierungen für beide Modellprobleme und bestätigen diese durch numerische Experimente. Darüber hinaus leiten wir obere Schranken für den Diskretisierungsfehler des Poisson-Interface-Problems her und geben eine explizite Abhängigkeit von den Materialkoeffizienten an. Numerische Experimente bestätigen die theoretischen Ergebnisse und zeigen eine optimale Konvergenzordnung für beide Probleme. \\\noindentFür das Poisson-Interface-Problem entwickeln wir eine neue Mehrgitter-Methode. Es werden Transferoperatoren für die nicht-angepassten Finite-Element-Räume auf verschiedenen Stufen entworfen, welche robust hinsichtlich der Lage der Phasengrenze sind. Darüber hinaus wird ein Interface-Glätter entwickelt, um Robustheit bezüglich unstetiger Materialkoeffizienten zu erhalten. Wir stellen eine Konvergenzanalyse für diese Methode vor, die eine von der Gitterweite und der Lage der Phasengrenze unabhängige Schranke liefert. Numerische Experimente weisen eine Robustheit der Methode in Bezug auf die Gitterweite, die Lage der Phasengrenze, sowie den Kontrast in Materialkoeffizienten auf. Die Methode wird mit Hilfe eines Zwei-Gitter-Ansatzes auf Diskretisierungen höherer Ordnung erweitert. \\\noindentFür das Stokes-Interface-Problem verwenden wir einen Cahout-Chabard-artigen Schur-komplement-Vorkonditionierer, welcher aus der Lösung eines skalierten Massen- und Poisson-Problems auf dem Druckraum besteht. Für den Poisson-Teil können wir die zuvor eingeführte koeffizientenrobuste Diskretisierung verwenden und daher kann die neue Mehrgitter-Methode angewendet werden. Geeignete Randbedingungen für den Vorkonditionierer werden ebenfalls diskutiert. Die Diskretisierung des Geschwindigkeitsblocks ist so gestaltet, dass sie die gleiche Struktur wie ein vektorwertiges Poisson-Interface-Problem hat und daher kann die Mehrgitter-Methode höherer Ordnung angewendet werden. Numerische Experimente veranschaulichen die Robustheit des vorgeschlagenen Vorkonditionierers in Bezug auf die Gitterweite, die Lage der Phasengrenze, sowie den Kontrast in den Materialkoeffizienten. \\\noindentDie oben genannten Methoden sind teilweise im Softwarepaket \texttt{DROPS}, sowie im \texttt{ngsxfem} Paket, einer Erweiterung zum Softwarepaket \texttt{ngsolve}, implementiert worden.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Numerische Mathematik [111710]