Contributions to statistical inference based on sequential order statistics from exponential and Weibull distributions

• Beiträge zur Statistischen Inferenz basierend auf Sequenziellen Ordnungsstatistiken aus Exponential- und Weibullverteilungen

Johnen, Marcus; Kamps, Udo (Thesis advisor); Kateri, Maria (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

In der Zuverlässigkeitstheorie und deren Anwendungen spielt die Modellierung der Lebensdauern von technischen Systemen mit mehreren Komponenten eine wichtige Rolle. Beispielsweise kann es von Interesse sein, die Lebensdauern von Komponenten eines k-von-n-Systems zu beschreiben, welches aus n identischen Komponenten besteht und solange funktioniert, wie mindestens k dieser Komponenten intakt sind. In vielen solchen Systemen erfahren die übrigen Komponenten nach dem Ausfall einer der Komponenten eine erhöhte Belastung. Dieser Effekt, auch "Load-Sharing-Effekt" genannt, kann z.B. durch sequenzielle Ordnungsstatistiken modelliert werden, die als Verallgemeinerung von gewöhnlichen Ordnungsstatistiken eingeführt wurden. In dieser Dissertation wird ein Untermodell mit proportionalen Ausfallraten für den Fall einer zugrundeliegenden Exponential- oder Weibull-Verteilung untersucht. Hierbei liegt der Schwerpunkt auf der Anpassung des Modells auf gegebene Daten. Im Einzelnen werden Themen der klassischen statistischen Inferenz wie Punktschätzer, Hypothesentests und Konfidenzbereiche besprochen. Zu diesem Zweck stellt sich die zugrundeliegende Struktur von Transformationsmodellen als nützlich heraus, welchen in der Literatur neben den Exponentialfamilien viel Beachtung geschenkt wird. Für das Modell der sequenziellen Ordnungsstatistiken mit einer zugrundeliegenden Exponentialverteilung führt der Transformationsmodellansatz zum Minimum-Risk-Equivariant-Schätzer als Alternative zum bereits bekannten Maximum-Likelihood-Schätzer (ML-Schätzer) und zum Uniformly-Minimum-Variance-Unbiased-Schätzer. Zusätzlichen stellen wir Methoden vor, um exakte Anpassungstests auf dieses Modell herzuleiten. Für das Modell mit einer zugrundeliegenden Weibull-Verteilung beweisen wir zunächst die Gültigkeit von bestimmten Regularitätsvoraussetzungen, die auf die Fisher-Informationsmatrix führen und die schließlich die Konsistenz und asymptotische Effizienz des ML-Schätzers zur Folge haben. Darüber hinaus zeigt sich, dass der ML-Schätzer gewisse Pivot-Eigenschaften erfüllt, bei denen die Verteilungen von einigen Funktionen, die sowohl den Schätzer als auch die Parameter beinhalten, unabhängig von wahren zugrundeliegenden Parametern sind. Tatsächlich zeigen wir, dass diese Eigenschaften ein Resultat der Äquivarianz des ML-Schätzers sind, was sie für eine größere Klasse von Schätzern gültig macht. Wir machen deutlich, dass der ML-Schätzer des Formparameters der zugrundeliegenden Weibull-Verteilung verzerrt ist und diskutieren nachfolgend einige Methoden zur Reduktion dieser Verzerrung, was zu einer Vielzahl alternativer, äquivarianter Schätzer führt. Durch Simulationen und unter Benutzung der oben genannten Pivot-Eigenschaften zeigen wir, dass diese Schätzer besser sind als der ML-Schätzer, auch im Hinblick auf ihre Varianz und den mittleren quadratischen Fehler. Verschiedene Nullhypothesen, zum Beispiel um die Eignung eines bestimmten Modells oder das Vorliegen eines "Load-Sharing-Effektes" zu überprüfen, werden besprochen. Dabei werden drei bekannte Teststatistiken - Likelihood-Ratio, Rao‘s Score, und Wald‘s Statistik -angewandt, welche für gewöhnlich zu asymptotischen Tests führen. Die Struktur eines Transformationsmodells ermöglicht es jedoch, exakte Tests basierend auf diesen Statistiken zu konstruieren, die zudem einfacher durch Simulationen verglichen werden können. Nachfolgend werden exakte und asymptotische Konfidenzbereiche für den Weibull-Formparameter und für die Modellparameter der sequenziellen Ordnungsstatistiken thematisiert. In dem Fall, wo die Modellparameter bekannt sind und der Weibull-Formparameter der einzige unbekannte Parameter ist, ist es möglich, dass die zugehörige univariate Log-Likelihood-Funktion mehrere lokale Maxima aufweist, was beim Auffinden des ML-Schätzers zu Problemen führen kann. Dieser Umstand wird genauer untersucht und eine mögliche Lösung wird vorgestellt. Wir finden heraus, dass, anders als in der ähnlichen und bekannten Situation mit Stichproben einer Cauchy-Verteilung mit unbekanntem Lokationsparameter, dieses Problem dadurch verursacht wird, dass die zugehörige Kullback-Leibler-Divergenz mehrere lokale Minima aufweist. Abschließend werden zwei Ansätze für die Verallgemeinerung des Modells der sequenziellen Ordnungsstatistiken mit zugrundeliegender Weibull-Verteilung auf Verteilungen aus Log-Lokations-Skalen-Familien vorgeschlagen. Dabei stellt sich heraus, dass einige Eigenschaften bei diesem Übergang beibehalten werden, abhängig davon, ob die Struktur eines Transformationsmodells oder die Eigenschaft proportionaler Ausfallraten bewahrt werden soll. Zur Veranschaulichung wenden wir die hergeleiteten Methoden auf zwei in der Literatur besprochene, reale Datensätze an.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Statistik und Institut für Statistik u. Wirtschaftsmathematik [116410]