On the second variation of integral Menger curvature

• Über die zweite Variation der integralen Mengerkrümmung

Knappmann, Jan; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor); Wagner, Alfred (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

In der vorliegenden Dissertation wird die Existenz der zweiten Variation des integralen Menger-Krümmungsfunktionals M_p für p>3 bewiesen, deren explizite Formel berechnet und diese benutzt um die geläufige Vermutung zu beweisen, dass der runde (gemeint als unverformte) Kreis ein isolierter lokaler Minimierer dieser Knotenenergie unter allen Raumkurven in R^3 ist. Die Existenz einer ersten Variation der integralen Menger-Krümmung wurde bereits von Hermes im Jahr 2014 bewiesen. Diesem gelang es auch mittels einer Formel für die erste Variation zu zeigen, dass der runde Kreis ein kritischer Punkt von M_p ist. Nach einigen Anpassungen und Weiterentwicklungen der von Hermes genutzten Methoden wird hier sowohl die Existenz als auch die konkrete Darstellung der zweiten sowie auch der dritten Variation von M_p nachgewiesen und davon eine Vermutung über die n-te Variation abgeleitet. Nach einer kurzen Einordnung der integralen Menger-Krümmung in den Kontext der geometrischen Knotenenergien betrachten wir eine skalierungsinvariante Version des Funktionals M_p, bezeichnet mit E_p, und setzen den runden Kreis c als Argument in deren zweite Variation D^2E_p(c)[ , ] ein. Um nun zu zeigen, dass der runde Kreis ein isolierter lokaler Minimierer von E_p ist, drücken wir die Störung Phi komponentenweise als Fourierreihe aus und schreiben den Ausdruck D^2E_p(c)[Phi,Phi] in eine aus den Fourierkoeffizienten von Phi bestehend Reihe um. Eine genauere Untersuchung dieser Reihe zeigt die positive Semi-Definitheit des Ausdrucke D^2E_p(c)[Phi,Phi]. Eine Taylor-Entwicklung zweiten Grades von E_p(c+t Phi) ermöglicht es zu zeigen, dass der Energiewert E_p(c+t Phi) für hinreichend kleine t stets echt größer als E_p(c) ist, falls die Störung Phi die Zusatzbedingung D^2E_p(c)[Phi,Phi]>0 erfüllt. Eine genauere Betrachtung des Kerns N_E der quadratischen Form D^2E_p(c)[ , ] erlaubt es, dieses Ergebnis auf sämtliche zulässigen Störungen zu übertragen, was die Minimierungseigenschaft des runden Kreises c beweist. Die beschriebenen Methoden werden anschließend auch bei der verwandten Tangenten-Punkt-Energie TP_q, genauer ihrer skalierungsinvarianten Version F_q, angewandt, über die bereits bekannt ist, dass es sich beim runden Kreis um den eindeutigen globalen Minimierer handelt. Auch wenn der Beweis der Minimalität damit nicht ohne weiteres reproduziert werden kann, so liefert dieses Vorgehen auch eine Reihendarstellung für D^2F_q(c)[Phi,Phi] sowie neue Einblicke in den zugehörigen Kern der quadratischen Form D^2F_q(c)[ , ].

Einrichtungen

• Lehrstuhl für Mathematik (Analysis) [111810]
• Fachgruppe Mathematik [110000]