Algorithmen zur Berechnung von multiplikativen Invariantenringen

Korodi, Tamás-István; Plesken, Wilhelm (Thesis advisor); Nebe, Gabriele (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Im allgemeinsten Fall beschäftigt sich die Invariantentheorie mit der Konstruktion und Struktur von Invariantenringen sowie deren geometrischen Interpretation. Um einen solchen Invariantenring zu konstruieren nehmen wir einen beliebigen Ring $R$ sowie eine Gruppe $G$, welche durch Ringautomorphismen auf dem Ring $R$ operiert. Die Invariantenring $R^G$ besteht dann aus der Menge aller Elemente in $R$, die unter der Operation aller Elemente von $G$ fest bleiben, also\[R^G = \{ x \in R \mid g(x) = x \text{ für alle } g \in G \}.\] In dieser Arbeit soll die Situation von multiplikativen Invariantenringen untersucht werden. Hier ist der Ring $R$ ein Gruppenring $\mathbb{Z}[\Gamma]$ für ein $d$-dimensionales Gitter $\Gamma$ und die Gruppe $G$ eine endliche Untergruppe der Punktgruppe dieses Gitters $\Gamma$. Für ein Element $a \in \Gamma$ und $g \in G$ ist die Operation auf den Monomen durch $(g, X^a) \mapsto X^{g(a)}$ gegeben. Für die algebraische Theorie von multiplikativen Invariantenringen existiert bereits von Prof. Dr. Martin Lorenz eine umfangreiche Monographie. Ein bislang offenes Problem ist allerdings die algorithmische Behandlung dieser multiplikativen Invariantenringe. Hier gibt es Vorarbeiten für die Fälle, in denen $G$ eine Spiegelungsgruppe oder eine Untergruppe hiervon ist. Allerdings fehlt es bislang an allgemeinen Algorithmen zur Berechnung sowie an einer leicht zugänglichen Datenbank für die multiplikativen Invariantenringe. Ziel dieser Arbeit soll es sein, die Lücke der Nichtspiegelungsgruppen zu schließen und auch für diesen Fall Algorithmen zur Berechnung der multiplikativen Invariantenringe anzugeben. Zu Beginn wird ein einfaches Verfahren beschrieben, mit welchem sich erzeugende Systeme finden lassen, indem wir eine eine Termordnung auf $R$ über eine positiv definite $G$-invariante Bilinearform definieren. Möchte man Relationen zwischen den Erzeugern finden, so müssen wir mit Idealen von multiplikativen Invariantenringen algorithmisch rechnen können. Zur Umsetzung dieser Algorithmen werden G-invariante Gröbnerbasen entwickelt, welche eine Verallgemeinerung gewöhnlicher Gröbnerbasen für multiplikative Invariantenringe darstellen. Es stellt sich heraus, dass die Struktur von multiplikativen Invariantenringen im Wesentlichen von der geometrischen Struktur von $G$-invarianten Kegelzerlegungen und Polytopen bestimmt wird. Experimentelle Tests der entwickelten Algorithmen liefern gute Resultate für Untergruppen von $GL_d(\mathbb{Z})$ bis Dimension $d = 8$. Darüber wird die Laufzeit aufgrund der kombinatorischen Explosion der höherdimensionalen Polytope zu langsam.

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