Vanishing moments conditions for atomic decompositions of coorbit spaces on quasi-Banach spaces

Burtscheidt, Achim Thomas; Führ, Hartmut (Thesis advisor); Rauhut, Holger (Thesis advisor)

Aachen (2020, 2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

In dieser Arbeit leiten wir mit Hilfe von verschwindenden Momenten hinreichende und notwendige Bedingungen für analysierende Vektoren in der Klasse der Wavelet-Coorbit-Räume $\Co(L^p(\Rd\rtimes H))$ her. Wir betrachten dabei Coorbit-Räume zu einer quadratintegrierbaren, irreduziblen quasi-regulären Darstellung des Produktes $G=\Rd\rtimes H$ auf $L^2(\Rd)$. Die Gruppe $G$ enthält alle affinen Abbildungen, wobei die Dilatation aus einer zulässigen Gruppe $H$ stammt. Diese induziert eine invertierbare Wavelettransformation. Es ist bekannt, dass es eine Klasse von nicht kompakt getragenen, bandbeschränkten Schwartz-Funktionen gibt, die analysierende Vektoren für alle Wavelet-Coorbit-Räume sind (selbst für $p<1$). Da es wünschenswert ist, solche Vektoren mit kompaktem Träger zu haben, und da wir Vektoren mit kompaktem Träger und verschwindenden Momenten leicht konstruieren können, suchen wir Kriterien über diesen Zugang. Bisher sind verschwindende Momente Bedingungen im Fall $p<1$ nur für Spezialfälle bekannt. Wir erweitern bekannte Resultate aus dem Banach-Fall auf den quasi-Banach-Fall. Wir werden allgemeine hinreichende Kriterien für Wavelet-Coorbit-Räume herleiten, welche ein Kontrollgewicht der Form $v(x,y)=(1+|x|)^kg(h)$ haben. Zudem untersuchen wir das asymptotische Verhalten der verschwindenden Momente. Wir leiten Kontrollgewichte für alle $L^p(G)$ mit $p>0$ sowie eine untere Schranke für diese Gewichte her. Es stellt sich heraus, dass $\sim\frac1p$ verschwindende Momente ausreichen. Wir werden außerdem sehen, dass analysierende (sogar gute) Vektoren mit milden Regularitätsvoraussetzungen notwendigerweise verschwindende Momente der Ordnung $\sim\frac1p$ haben. Das impliziert, dass es kein universelles Wavelet mit kompaktem Träger gibt, welches analysierend für alle $p>0$ gleichzeitig ist.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Mathematik der Informationsverarbeitung [114510]