Entropy methods for gas dynamics on networks

• Entropie Methoden zur Gasdynamik auf Netzwerken

Holle, Yannick; Herty, Michael (Thesis advisor); Westdickenberg, Michael (Thesis advisor); Piccoli, Benedetto (Thesis advisor)

Aachen (2020, 2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

In den letzten zwei Jahrzehnten kamen Simulationen zur Gasdynamik in Netzwerken zu großem Interesse. Das ist auf die vielfältigen Anwendungen sowie die interessanten mathematischen Strukturen und Probleme zurückzuführen. Netzwerkmodelle basieren auf eindimensionalen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen, die an einer Kopplungsstelle in einer geeigneten Weise verknüpft sind. Die Modelle wurden in unterschiedlichen Aspekten untersucht (z.B. Analysis, Numerik, Optimierung oder Kontrolltheorie) und unterschiedliche Kopplungstechniken wurden vorgestellt. Neben der Gasdynamik gibt es diverse Anwendungen von Netzwerkmodellen, z.B. Verkehrsfluss, Lieferketten, Datennetzwerke, Blutfluss oder Wasserkanäle. Wir folgen einem Ansatz basierend auf einem kinetischen Modell für isentropische Gasdynamik. Dazu führen wir kinetische Kopplungsbedingungen ein und lösen das kinetische Modell entlang der Kanten. Wir beweisen Existenz von Lösungen mit endlicher Masse und Energie unter schwachen Annahmen an die Anfangsdaten und Kopplungsbedingungen. Wir legitimieren die Konvergenz der kinetischen Lösungen gegen eine makroskopische Lösung des Systems für isentropisches Gas mit Hilfe der Methode der kompensierten Kompaktheit. Die erhaltenen Lösungen erfüllen vererbte Entropiefluss-Ungleichungen an der Kopplungsstelle und die Methode ist auf eine große Klasse kinetischer Kopplungsbedingungen anwendbar. Als Nebenprodukt erhalten wir ein Existenzresultat für Randbedingungen, die eine solide Wand modellieren und wir erweitern den Ansatz auf Netzwerke mit endlich vielen Kopplungsstellen. Ein Entropieprinzip führt zu einer kinetischen Kopplungsbedingung, die so viel Entropie wie möglich dissipiert, unter der Bedingung, dass die Masse erhalten bleibt. Die ausgehenden Charakteristiken an der Kopplungsstelle sind durch den Maxwellian eines makroskopischen Zustands mit passender künstlicher Dichte und Geschwindigkeit Null gegeben. Die kinetische Bedingung führt zu einer makroskopischen Bedingung, basierend auf Standard-Riemann-Problemen mit linkem Anfangszustand gegeben durch die passende künstliche Dichte und Geschwindigkeit Null. Wir nennen diese Bedingung die Künstliche-Dichte-Kopplungsbedingung. Für die Künstliche-Dichte-Kopplungsbedingung wird die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zum verallgemeinerten Riemann-Problem global im Zustandsraum bewiesen. Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zum verallgemeinerten Cauchy-Problem wird unter der Standardannahme von genügend kleiner totalen Variation der Anfangsdaten gezeigt. Die erhaltenen Lösungen erfüllen Entropiefluss-Ungleichungen an der Kopplungsstelle, die nicht-steigende Energie an der Kopplungsstelle und ein Maximumprinzip für die Riemann-Invarianten implizieren. Numerische Simulationen zeigen, dass die künstliche-Dichte-Kopplungsbedingung in einigen Fällen die einzige bekannte Bedingung ist, die zu den physikalisch korrekten Wellentypen führt. Der neue Ansatz kann auf volle Gasdynamik erweitert werden und führt zu einer Kopplungsbedingung, die auf einem künstlichen Zustand mit passender Dichte, Energie und Geschwindigkeit Null basiert mit nicht-steigender Entropie an der Kopplungsstelle. Außerdem präsentieren wir neue Resultate zu Randbedingungen für hyperbolische Erhaltungsgleichungen. Randbedingungen sind eng mit der neuen Künstliche-Dichte-Kopplungsbedingung verbunden, da diese Kopplungsbedingung als Randbedingung mit Randdaten gegeben durch die künstliche Dichte und Geschwindigkeit Null verstanden werden kann. Wir geben neue Bedingungen, unter denen die Entropie- und Riemann-Problem-Formulierung von Randwerten äquivalent oder nicht äquivalent sind. Im Fall von isentropischer Gasdynamik benutzen wir numerische Methoden und Entropien ähnlich zu Kružkov-Entropien, um die Unterschiede zwischen den beiden Formulierungen global im Zustandsraum zu untersuchen.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Mathematik (Analysis) [111810]