Minimisation problems in ideal magnetohydrodynamics

  • Minimierungsprobleme in der idealen Magnetohydrodynamik

Gerner, Wadim; Melcher, Christof (Thesis advisor); von der Mosel, Heiko (Thesis advisor); Peralta-Salas, Daniel (Thesis advisor)

Aachen (2020, 2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

Diese Dissertation beschäftigt sich mit Minimierungsproblemen, die im Zusammenhang mit der Magnetohydrodynamik stehen. Der Hauptteil dieser Arbeit teilt sich in insgesamt 5 Kapitel. Im ersten Kapitel wird gezeigt, dass die magnetische Energie unter der sogenannten Helizitätsnebenbedingung für jeden vorgegebenen Wert einen globalen Minimierer besitzt und dass alle Minimierer Beltramifelder, d.h. Eigenvektorfelder des Rotationsoperators, sind. Dieses Resultat ist für kompakte Mannigfaltigkeiten ohne Rand und glatt berandete, beschränkte Gebiete im $\mathbb{R}^3$ bereits bekannt. Wir verallgemeinern diese Ergebnisse für den Fall abstrakter, kompakter Mannigfaltigkeiten mit Rand und haben damit eine Lücke in der Literatur geschlossen. Im zweiten Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Problem zu gegebenem Volumen ein Gebiet mit diesem Volumen zu finden, sodass die minimale Energie in einer festen Helizitätsklasse auf diesem Gebiet minimal ist unter den minimalen Energien, in der selben Helizitätsklasse, aller anderen Gebiete vom selben Volumen. Dieses Problem wurde mit $\mathbb{R}^3$ als umgebenden Raum bereits in der Literatur betrachtet. Hier verallgemeinern wir die Resultate auf beliebige Riemmansche Mannigfaltigkeiten als umgebenden Raum und leiten eine Variationsungleichung her, die die Geometrie des umliegenden Raumes widerspiegelt. Die Frage nach der Existenz eines optimalen Gebietes ist nach wie vor offen und Gegenstand aktueller Forschung. Im dritten Kapitel liegt der Fokus auf der Feldliniendynamik und der Nullstellenstruktur von Beltramifeldern und damit insbesondere von globalen Energieminimierern. Unsere wichtigsten Resultate sind zum einen die Erkenntnis, dass die Einschränkung eines Beltramifeldes, welches tangential ist, auf den Rand einer einfach zusammenhängenden, kompakten Mannigfaltigkeit ein Gradientenfeld ist und man daher ein gutes Verständnis der Feldlinien auf dem Rand hat. Zum anderen zeigen wir, dass die Hausdorff-Dimension der Nullstellenmenge solcher Vektorfelder höchstens $1$ beträgt. Diese obere Schranke an die Dimension ist bekannt für die Nullstellenmenge im Inneren der Mannigfaltigkeit. Wir zeigen, dass dies auch dann noch der Fall ist, wenn man die Nullstellen auf dem Rand hinzunimmt. Ein derartiges Resultat scheint neu in der Literatur zu sein. Im vierten Kapitel betrachten wir erneut das Minimierungsproblem aus dem ersten Kapitel, aber diesmal unter einer zusätzlichen Symmetrienebenbedingung. Resultate bezüglich der Existenz rotationssymmetrischer Energieminimierer auf Gebieten im $\mathbb{R}^3$ sind in der Literatur bekannt. Wir betrachten erneut eine Verallgemeinerung auf abstrakte Mannigfaltigkeiten, wobei wir neue Argumente entwickeln, um den Fall allgemeiner Killing Vektorfelder zu behandeln. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit Minimierungsproblemen im $\mathbb{R}^3$. Es ist leicht zu zeigen, dass das ursprüngliche Energiefunktional keine globalen Minimierer besitzen kann, wenn man das Energiefunktional über $\mathbb{R}^3$ betrachtet. Daher betrachten wir zwei Varianten des Energiefunktionals unter der Helizitätsnebenbedingung. Für die erste Variante wird bewiesen, dass höchstens Dichotomieeffekte, im Sinne von Lions' "concentration compactness principle", der Grund für die Nichtexistenz von Minimierern sein können. Für die zweite Variante leiten wir notwendige Bedingungen für globale als auch lokale Minimierer her.

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