Computing near-equilibrium solutions for hyperbolic balance laws on networks

Mantri, Yogiraj; Noelle, Sebastian (Thesis advisor); Herty, Michael (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

In dieser Arbeit untersuchen wir numerische Verfahren für Strömungsgleichungen, die durch hyperbolische Bilanzgesetze (hyperbolic balance laws) modelliert werden. Die numerische Approximation von Strömungen nahe dem Gleichgewicht ist eine besondere Herausforderung, da die im Allgemeinen unterschiedliche Struktur der Diskretisierungsfehler von Fluss- und Quellentermen zu unphysikalischen Schwingungen in der Lösung führen kann. Um dies zu vermeiden, müssen wir wohl-balancierte Verfahren entwerfen, die für Strömungen nahe dem Gleichgewicht stabil sind. Unser Ansatz zur Erzielung eines wohl-balancierten Verfahrens basiert auf der Arbeit von Chertock, Herty, Ozcan [2018]. Die Hauptidee besteht darin, das System von Bilanzgesetzen in konservativer Form schreiben und so räumlich und zeitlich konstante Gleichgewichtsvariablen zu erhalten. Die Rekonstruktion dieser Gleichgewichtsvariablen kann im Gleichgewicht exakt durchgeführt werden. Ausgehend von diesem zentralen Baustein entwickeln wir zunächst wohl-balancierte Finite Volumen Verfahren zweiter Ordnung und ein Discontinuous-Galerkin Verfahren höherer Ordnung in einer Raumdimension. Wir untersuchen auch die Erweiterung eines Finite Volumen Verfahrens auf zweidimensionale Systeme hyperbolischer Bilanzgesetze. Für zweidimensionale Strömungen müssen wir zusätzlich ein Gleichgewicht mit der Flusskomponente in der zweiten Raumdimensionen sicherstellen. Wir entwickeln ein wohl-balanciertes Verfahren für Gleichgewichtsgesetze mit einer fluiddynamischen Struktur. Für diese Gleichungen können wir Variablen erhalten, die entlang jeder Raumrichtung konstant sind, und diese Variablen entlang der jeweiligen Richtung rekonstruieren. Wir erweitern das Finite-Volumenverfahren zweiter Ordnug zu einem Discontinuous-Galerkin Verfahren hoher Ordnung für allgemeine hyperbolische Bilanzgesetze in einer Raumdimension. Der Schlüsselschritt besteht darin, die Gleichgewichtsvariablen im Raum der stückweisen Polynome des DG Verfahrens darzustellen und das Verfahren in Bezug auf diese Variablen zu formulieren. Im letzten Teil der Arbeit, untersuchen wir wohl-balancierte Verfahren für Flüsse in Netzwerken hyperbolischer Bilanzgesetze. Für Netzwerkflüsse spielt die numerische Behandlung der Kopplungsbedingungen an Knoten des Netzwerks eine entscheidende Rolle. Wir modellieren diese Kopplungsbedingungen unter Verwendung der Gleichgewichtsvariablen. Diese können sowohl mit Finite-Volumen als auch mit Discontinuous Galerkin kombiniert werden, um Störungen von Gleichgewichten in Netzwerken mit hoher Genauigkeit zu approximieren.

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