Analysis and computation of equilibria in multilevel games with finitely and infinitely many players

Thünen, Anna; Banda, Mapundi (Thesis advisor); Herty, Michael (Thesis advisor); Schwartz, Alexandra (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

Spieltheorie ist eine Erweiterung der klassischen Optimierung wobei mehrere Optimierungsprobleme gekoppelt betrachtet werden. Bestimmte Hierarchien innerhalb des Spiels können durch eine mehrstufige Struktur analysiert werden. Dies kann zeitverzögerte Entscheidungen oder ein Ungleichgewicht in den Einflussmöglichkeiten einzelner Spieler modellieren. Die Spieler, die ihre Entscheidung zuerst bekannt geben, werden als Leader und die anderen als Follower bezeichnet. Wir unterscheiden den Fall mit einem einzigen Leader, das Stackelberg-Spiel, und den Fall mit mehreren Leadern, das sogenannte Multi-Leader- Follower-Spiel. Seit den letzten Jahrzehnten dienen Multi-Level-Games als Werkzeug bei der Analyse von Systemen mit mehreren konkurrierenden Interessen mit Hierarchien. Eine prominente Anwendung ist die Analyse von Strommärkten, die durch Multi-Leader-Follower-Spielen dargestellt werden können. Diese Anwendungen beinhalten in der Regel die Modellierung von großen Populationen von Followern. Die Nachfrage aller Kunden nach Strom wird durch einen einzigen unabhängigen Spieler repräsentiert, was ein gutes Modell für die derzeitige Praxis auf den Energiemärkten darstellt. Die Forschungresultate der Multiskalenmodellierung können für die Analyse großer Populationen von interagierenden Agenten genutzt werden. Historisch gesehen hat die Multiskalenmodellierung ihren Ursprung in der statistischen Mechanik. Sie verbindet zum Beispiel das dynamische Modell vieler einzelner Gasmoleküle mit Gleichungen, die die Evolution der Dichte des Gases beschreiben. Die Vereinfachungen, die für die mehrstufigen Spielen mit vielen Followern gemacht werden, sind in vielerlei Hinsicht nützlich und angemessen, aber in dieser Arbeit möchten wir weiter gehen, um die Modellierung dieser Populationen im Kontext der mehrstufigen Spiele auszuarbeiten. Dazu betrachten wir hier diese herausfordernden Eigenschaften separat und daher ist diese Arbeit in zwei Teile unterteilt: Im ersten Teil untersuchen wir die Multi-Leader-Follower-Struktur in Spielen. Im zweiten Teil betrachten wir ein Stackelberg-Spiel mit unendlich vielen Followern. Der erste Teil basiert auf den Arbeiten [56, 95]: Modelle der Optimierung und der Spieltheorie in endlichdimensionalen Räumen werden zusammen mit gundlegenden theoretischen Resultaten eingeführt. Weiterhin wird für jedes Modell eine numerische Methode erläutert. Danach wird für eine Klasse von quadratischen Multi-Leader-Follower-Spielen die Existenz und Eindeutigkeit von Nash-Gleichgewichten analysiert. Das Modell kann als Nash-Spiel umformuliert werden wodurch die Gleichgewichte charakterisiert werden können. Hierfür verwenden wir eine Glättungsmethode und beweisen die Konvergenz zu einem Nash-Gleichgewicht des ursprünglichen Multi-Leader-Follower-Spiels. Dann wird eine numerische Methode vorgestellt, die konsistent zu der entwickelten Theorie ist. Der zweite Teil basiert auf der Arbeit [55]: Es werden Grundlagen der Multiskalenmodellierung, der optimalen Steuerung und dynamischer Spiele behandelt. Wir stellen hier sowohl Modelle als auch Methoden vor. Anschließend wird ein Stackelberg-Spiel betrachtet, für das wir den Mean-Field-Limit für die Follower Dynamiken herleiten, der eine Evolutionsgleichung der Wahrscheinlichkeitsdichte der Follower ergibt. Die Reihenfolge der Optimierung und des Mean-Field-Limits können variiert werden und wir beweisen Bedingungen für die Konsistenz. Wir schließen mit der Entwicklung einer numerischen Methode für diese Art von Stackelberg-Spiel.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik [114620]