Monge-Ampère equations with applications in optic design

  • Monge–Ampère-Gleichungen mit Anwendungen in der Optik

Kremer, Elisa; Müller, Siegfried (Thesis advisor); Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2020, 2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

Seit der Antike beschäftigt sich der Mensch mit der Frage, wie Licht mit Hilfe von Spiegeln und Linsen umgeformt werden kann. Mathematisch ist diese Problemstellung eng mit der Theorie des optimalen Transports verwandt, in der eine kosteneffiziente Transformation zwischen zwei verschiedenen Verteilungen gesucht wird. In beiden Kontexten, Beleuchtungsfragen und optimalem Transport, kann das Problem auf die Lösung einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung vom Monge–Ampère-Typ zurückgeführt werden. Für die Differentialgleichung werden dabei die nicht üblichen, sogenannten Transportrandbedingungen, vorgegeben. In dieser Arbeit wird eine flexible und robuste Methode entwickelt, um solche Differentialgleichungen numerisch zu lösen. Mit flexibel ist dabei gemeint, dass diese Methode auf eine große Klasse relevanter Beleuchtungsprobleme, einschließlich Konfigurationen im Nahfeld, anwendbar ist. Unter robust wird dabei verstanden, dass der resultierende Algorithmus von möglichst wenigen Parametern abhängt, die im Falle neuer Probleminstanzen nicht in einem aufwendigen, manuellen Trial-and-Error-Prozess ermittelt werden müssen. Die entwickelte Methode basiert auf einer C^1-kontinuierlichen Finite-Elemente-Methode, deren ursprüngliche Anwendung aus der Behandlung nichtlinearer partieller Differentialgleichung mit Dirichlet-Randbedingungen bestand. Dafür wird zunächst die Einbettung der nichtlinearen Transportrandbedingungen in die Finite-Elemente-Methode und anschließend die Konstruktion und Implementierung solcher glatten Elemente diskutiert. Um praktisch relevante Probleme zu lösen, werden die kritischen Teile des Algorithmuses identifiziert und durch geeignete Stabilisierungstechniken in einem geschachtelten Prozess korrigiert. Anschließend wird die numerische Genauigkeit, geometrische Flexibilität und eine hohe Konvergenzrate in der Approximationsgüte durch eine Vielzahl von Testproblemen sowohl aus der klassischen optimalen Transporttheorie als auch aus der Optik bestätigt. In einem zweiten Teil wird das Anwendungspotential im Falle ausgedehnter Lichtquellen diskutiert. Obwohl die schon zuvor betrachteten Beleuchtungssysteme mathematisch herausfordernd sind, verschärft die Einführung kompakter Optiken die Bedeutung der Größe einer Lichtquelle, so dass sich solche Systeme nicht mehr durch partielle Differentialgleichungen des Monge–Ampère-Typs modellieren lassen. Aktuelle Designtechniken wie zum Beispiel die Phasenraummethode basieren auf Least-Squares-Verfahren und liefern oft suboptimale Ergebnisse. Typischerweise werden solche Methoden mit einer Startoberfläche initialisiert, die unter Berücksichtigung einer einzigen Punktquellenapproximation konstruiert wird. Um die Leistungsfähigkeit vorhandener Verfahren mithilfe dieses kritischen Punkts zu verbessern, wird ein Kombinierungsprozess entwickelt, der einen Startwert aufgrund verschiedener Punktquellenapproximationen berechnet. Die Kernidee hinter der Kombination einzelner Optiken ist dabei eine Konvexkombination basierend auf einer geeigneten, einheitlichen Parametrisierung aller Flächen.

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