Scale-invariant geometric curvature functionals, and characterization of Lipschitz- and $C^1$-submanifolds

Käfer, Bastian; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor); Wagner, Alfred (Thesis advisor); Strzelecki, Pawel (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

In der vorliegenden Dissertation wird der Zusammenhang lokaler Flachheit mit der Existenz von Graphendarstellungen gewisser Regularität für Teilmengen des $\mathbb R^n$ mit beliebiger Dimension $m\leq n$ untersucht. Es werden hinreichende Bedingungen formuliert, die lokale Graphendarstellungen der Klasse $C^{0,1}$ oder $C^1$ garantieren. Mengen, die eine solche lokale Darstellung an jedem Punkt ermöglichen, werden als Lipschitz- bzw. $C^1$-Untermannigfaltigkeit identifiziert. Darüber hinaus lässt sich die Klasse der $m$-dimensionalen $C^1$-Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb R^n$ basierend auf dem Prinzip von $\delta$-Reifenberg-flachen Mengen charakterisieren. Die erzielten Beobachtungen werden für die Untersuchung zweier Familien von geometrischen Krümmungsfunktionalen für verschiedene Klassen $m$-dimensionaler zulässiger Mengen verwendet. Dabei bleibt die Reifenberg-Flachheit ein entscheidendes Hilfsmittel, um aus der Annahme endlicher Energie weitere topologische und analytische Eigenschaften zu erhalten. Die erste Familie bildet die Tangenten-Punkt Energie $TP^{(k,l)}$, wobei der Fokus der Betrachtungen auf dem skalierungsinvarianten Fall $k=l+2m$ liegt. Es lässt sich zeigen, dass zulässige Mengen mit lokal endlicher Energie eingebettete Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb R^n$ sind, die lokale Lipschitz-stetige Graphendarstellungen besitzen. Weiterführend wird eine Beweistechnik von S. Blatt angewendet, um den Raum endlicher Energie von $TP^{(k,l)}$ für alle $l>m$ und $k\in[l+2m,2l+m)$ zu charakterisieren. Dieser ist gegeben durch die Klasse der $C^{0,1}\cap W^{\frac {k-m}l,l}$-Untermannigfaltigkeiten. Im Gegensatz zu den zuvor gemachten Beobachtungen verlangt der Beweis dieser Charakterisierung die Existenz von Graphendarstellungen mittels Lipschitz-stetiger Funktionen, um für $\mathscr{H}^m$-fast alle Punkte die Existenz einer Tangentialfläche für die Berechnung der Tangenten-Punkt Energie sicherzustellen. Basierend auf einer Arbeit von R. B. Kusner und J. M. Sullivan wird eine Familie $\mathcal{E}^\tau$ von Möbius-invarianten Energien für $m$-dimensionale Teilmengen des $\mathbb R^n$ definiert. Wie bereits für $TP^{(k,l)}$ beobachtet impliziert lokal endliche $\mathcal{E}^\tau$-Energie für zulässige Mengen ebenfalls die Existenz lokaler Lipschitz-stetiger Graphendarstellungen. Außerdem lässt sich für $\tau>0$ zeigen, dass jede lokalkompakte $C^{0,1}\cap W^{1+\frac 1{1+\tau},(1+\tau)m}$-Untermannigfaltigkeit des $\mathbb R^n$ lokal endliche $\mathcal{E}^\tau$-Energie besitzt.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik [112120]