Representation categories of compact matrix quantum groups

• Darstellungskategorien kompakter Matrixquantengruppen

Maaßen, Laura; Hiß, Gerhard (Thesis advisor); Weber, Moritz (Thesis advisor); Freslon, Amaury (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

Ein zentrales Resultat in der Theorie kompakter Matrixquantengruppen ist eine Tannaka-Krein-Dualität, wodurch sich jede kompakte Matrixquantengruppe vollständig aus ihrer Darstellungskategorie rekonstruieren lässt. Darauf basierend werden 'einfache' Quantengruppen durch eine kombinatorische Beschreibung ihrer Darstellungskategorien definiert. In dieser Arbeit untersuchen wir die Darstellungskategorien sogenannter gruppentheoretischer Quantengruppen und zeigen, dass diese durch eine ähnliche kombinatorische Konstruktion wie die für einfache Quantengruppen gewonnen werden können. Weiterhin analysieren wir die Struktur abstrakter Tensorkategorien, welche die Darstellungskategorien einfacher Quantengruppen interpolieren. Die vorliegende Arbeit verknüpft somit Fragestellungen aus der Theorie kompakter Quantengruppen, der Kombinatorik und der Kategorientheorie. Im ersten Teil dieser Arbeit betrachten wir gruppentheoretische Quantengruppen. Wir definieren eine Verallgemeinerung von orthogonalen gruppentheoretischen Quantengruppen im unitären Kontext und zeigen, dass diese ebenfalls als semidirekte Produkte von Quantengruppen dargestellt werden können. Wir beschreiben dann deren Darstellungskategorien. Dazu führen wir modifizierte Versionen von Kategorien von Partitionen ein, welche die 'gruppentheoretische Struktur' der diagonalen Untergruppen gruppentheoretischer Quantengruppen modellieren. Außerdem definieren wir einen modifizierten Faserfunktor, der mit dem klassischen Faserfunktor für einfache Quantengruppen durch Moebius-Inversion zusammenhängt. Eine Anwendung der Tannaka-Krein-Dualität liefert dann die gesuchte kombinatorische Beschreibung der Darstellungskategorien gruppentheoretische Quantengruppen. Nachfolgend beschränken wir uns auf den orthogonalen Fall. Obwohl bekannt ist, dass es unendlich viele orthogonale gruppentheoretische Quantengruppen gibt, wurden bisher nahezu keine konkreten Beispiele untersucht. Wir analysieren daher verschiedene Beispiele, darunter insbesondere eine neue Serie von orthogonalen einfachen Quantengruppen zwischen der hyperoktaedrischen Serie und der höheren hyperoktaedrischen Serie. Anschließend entwickeln wir eine verbesserte Version des de Finetti-Theorems für orthogonale gruppentheoretische Quantengruppen von Raum und Weber. Im zweiten Teil dieser Arbeit untersuchen wir sogenannte interpolierende Partitionskategorien im Rahmen von Delignes Interpolationskategorien. Interpolierende Partitionskategorien sind die kategorielle Abstraktion von Kategorien von Partitionen zusammen mit einem komplexen Interpolationsparameter. Per Konstruktion interpolieren diese die Darstellungskategorien einfacher Quantengruppen. Wir zeigen, dass die Halbeinfachheit einer interpolierenden Partitionskategorie in den Determinanten bestimmter Gram-Matrizen kodiert ist. Darauf aufbauend berechnen wir, für welche Interpolationsparameter interpolierende Partitionskategorien, die zu gruppentheoretischen Quantengruppen korrespondieren, halbeinfach sind. Außerdem parametrisieren wir die unzerlegbaren Objekte in allen interpolierenden Partitionskategorien durch explizit konstruierbare Systeme endlicher Gruppen und zeigen, dass dies graduierte Versionen der zugehörigen Grothendieck-Ringe beschreibt. Wir wenden diese Resultate im Anschluss auf orthogonale einfache kompakte Gruppen und freie orthogonale einfache Quantengruppen an.