Finite element methods for surface vector partial differential equations

Jankuhn, Thomas; Reusken, Arnold (Thesis advisor); Olshanskii, Maxim (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit entwickeln und analysieren wir effiziente Finite-Elemente-Methoden zur numerischen Lösung der Vektor-Laplace-Gleichung und der (Navier-)Stokes-Gleichungen auf stationären Oberflächen. Zunächst leiten wir die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen auf zeitabhängigen Oberflächen her. Die Herleitung basiert auf grundlegenden kontinuumsmechanischen Prinzipien für viskose Materialoberflächen, die in ein umgebendes Medium eingebettet sind. Die resultierenden Gleichungen werden ausschließlich mit Hilfe von Tangentialdifferentialoperatoren in kartesischen Koordinaten formuliert. Dies vereinfacht deren Nutzung für unsere numerischen Verfahren. Anschließend spalten wir das System in zwei gekoppelte Gleichungen für die tangentiale Dichteströmung und die Normalengeschwindigkeit der Oberfläche auf. Daraus lassen sich die folgenden drei Modelle für eine stationäre Oberfläche herleiten: die Vektor-Laplace-Gleichung, die Stokes-Gleichungen und die Navier-Stokes-Gleichungen. Bei Strömungsproblemen auf Oberflächen verläuft das Strömungsfeld tangential zur Oberfläche. Es ist nicht offensichtlich, wie diese Bedingung numerisch behandelt werden sollte. Um dieses Problem besser zu verstehen, betrachten wir zunächst Diskretisierungen der Vektor-Laplace-Gleichung auf Oberflächen. Dabei verwenden wir die parametrische Spur-Finite-Elemente-Methode höherer Ordnung. Für die Behandlung der Tangentialbedingung untersuchen wir drei unterschiedliche Verfahren: ein konsistentes Penalty-Verfahren, ein einfacheres inkonsistentes Penalty-Verfahren und ein Lagrange-Multiplikator-Verfahren. Wir entwickeln eine vollständige Analyse aller drei Verfahren, die zeigt, wie die Diskretisierungsfehlerschranken in der Energienorm von den relevanten Parametern abhängen. Diese sind beispielsweise: der Grad der Polynome, die für die Approximation der Lösung verwendet werden; der Grad der Polynome, die für die Approximation der Level-Set-Funktion verwendet werden, welche die Approximation der Oberfläche charakterisiert; der Penaltyparameter; die Ordnung der Normalenvektorapproximation, die in beiden Penalty-Verfahren verwendet wird; und der Grad der Polynome, die für die Approximation des Lagrange-Multiplikators verwendet werden. Darüber hinaus leiten wir für das konsistente Penalty-Verfahren eine neue optimale $L^2$-Fehlerschranke her. Die Resultate werden durch numerische Experimente bestätigt und illustriert. In einem abschließenden Vergleich der drei Verfahren kommen wir zu dem Schluss, dass das konsistente Penalty-Verfahren deutliche Vorteile gegenüber den beiden anderen Verfahren bietet. Für die Stokes-Gleichungen auf Oberflächen führen wir eine isoparametrische $\boldsymbol {\mathcal{P}}_k$-$\mathcal{P}_{k-1}$-Spur-Taylor-Hood-Finite-Elemente-Diskretisierung ($k\geq2$) ein. Für die Tangentialbedingung verwenden wir das gleiche konsistente Penalty-Verfahren, das bereits für die Vektor-Laplace-Gleichung auf Oberflächen verwendet und analysiert worden ist. Mit Hilfe eines Inf-Sup-Stabilitätsresultats für das Taylor-Hood-Paar wird die Wohlgestelltheit gezeigt und eine optimale Energienorm-Fehlerschranke hergeleitet. Darüber hinaus wird eine neue Fehleranalyse vorgestellt, die eine optimale $L^2$-Fehlerschranke liefert. Beide Fehlerschranken werden von Ergebnissen numerischer Experimente bestätigt. Zur Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen auf einer stationären Oberfläche verwenden wir eine isoparametrische $\boldsymbol{\mathcal{P}}_k$-$\mathcal{P}_{k-1}$-Spur-Taylor-Hood-Finite-Elemente-Methode ($k\geq2$) im Raum und ein semi-implizites BDF$2$-Verfahren zweiter Ordnung in der Zeit. Für den kontinuierlichen Fall werden bei Abwesenheit äußerer Kräfte asymptotische Eigenschaften der Lösung hergeleitet und zur Validierung der numerischen Simulationsresultate verwendet.

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