Symmetriereduktion polynomieller Vektorfelder

• Symmetry reduction of polynomial vector fields

Schröders, Raphael; Walcher, Sebastian (Thesis advisor); Scheurle, Jürgen (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

In der vorliegenden Dissertation modifizieren wir die bekannte Orbitraummethode zur Symmetriereduktion polynomieller gewöhnlicher Differentialgleichungen im $\mathbb{R}^{n}$ oder $\mathbb{C}^{n}$, um ein praktikableres Reduktionsverfahren zu entwickeln. Die Symmetrien solcher Differentialgleichungen bilden eine lineare algebraische Gruppe. Ist diese nichttrivial und die Algebra der polynomiellen Invarianten der Symmetriegruppe endlich erzeugt, so liefert ein Erzeugendensystem dieser Invariantenalgebra eine Reduktionsabbildung. Diese Vorgehensweise ist als Orbitraumreduktion bekannt. Bei dieser Reduktionsmethode tritt jedoch häufig das Problem auf, dass selbst bei relativ einfachen Symmetriegruppen auch kleinstmögliche Erzeugendensysteme der Invariantenalgebra sehr groß sein können, wodurch das Bild der Reduktionsabbildung sehr kompliziert ist und nur in einen sehr hochdimensionalen Vektorraum eingebettet werden kann. Aufgrund dessen ist dieses Verfahren oft nicht praktikabel. Auf der anderen Seite besteht die Möglichkeit, mit rationalen Invarianten zu reduzieren. Hierbei ist die kleinstmögliche Anzahl von Erzeugern des Körpers der rationalen Invarianten durch n-s+1 beschränkt, wobei n die Ausgangsdimension bezeichnet und s die generische Bahndimension der Symmetriegruppe. Allerdings taucht hier das Problem unkontrollierter Nenner auf, sodass interessante invariante Mengen, welche durch die Symmetrie bedingt sind, bei dieser Reduktionsmethode verloren gehen und die Existenz einer Reduktion an einem bestimmten Punkt nicht garantiert werden kann. Aufgrund der jeweiligen Probleme beider Reduktionsmethoden entwickeln wir einen Mittelweg zwischen beiden Verfahren, welcher sowohl das Problem der sehr großen Erzeugendensysteme als auch der unkontrollierten Nenner lösen soll, also die Vorteile aus beiden Verfahren vereint. Dazu verwenden wir geeignet gewählte Lokalisierungen. Wir zeigen mit Hilfe von invarianten Mengen, welche von der Symmetriegruppe induziert werden, dass es zu einem zuvor gewählten Punkt, an dem die Reduktion durchgeführt werden soll, eine Lokalisierung gibt, sodass die auftretenden Nenner an diesem Punkt nicht verschwinden, und die Anzahl der benötigten Erzeuger für die Invarianten auf maximal n-s+2 beschränkt werden kann. Aus einem solchen Erzeugendensystem erhalten wir dann eine lokale Reduktionsabbildung auf eine algebraische Varietät, welche maximal Kodimension 2 in ihrem Einbettungsraum hat. Da in Anwendungen häufig die symmetrischen Differentialgleichungen zu einer gegebenen Symmetriegruppe relevant sind, ist es zur Durchführung des Reduktionsverfahrens zudem erforderlich, auch ein Erzeugendensystem für die symmetrischen polynomiellen Vektorfelder, welche einen Modul über der Invariantenalgebra bilden, angeben zu können. Wir zeigen, dass sich mit geeigneter Lokalisierung die Anzahl der für diesen Modul benötigten Erzeuger auf n beschränken lässt, sofern wir die Auswahl der Symmetriegruppe geringfügig einschränken. Sowohl für die Invarianten als auch für die symmetrischen Vektorfelder kann dabei an einem Punkt dieselbe Lokalisierung verwendet werden. Die Existenzbeweise im allgemeinen Fall werden zudem für den Spezialfall toraler Gruppen konkretisiert. Im Sinne der Ausgangsproblematik sehr großer Erzeugendensysteme der Invariantenalgebra tritt bei diesem Gruppentyp stets der bestmögliche Fall ein, d.h. die Anzahl der benötigten Erzeuger kann bei unserem lokalen Reduktionsverfahren sogar auf n-s beschränkt werden. Darüber hinaus geben wir an, wie die benötigten Erzeuger (sowohl für die Invarianten als auch für die symmetrischen Vektorfelder) berechnet werden können, ohne dass die Kenntnis eines Erzeugendensystems der Invariantenalgebra erforderlich ist. Wir veranschaulichen dies anhand einiger konkreter Beispiele.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl A für Mathematik [114110]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik [114220]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (Algebra) [114820]