On optimal convergence rates of nonconvex gradient flows

• Über optimale Konvergenzraten nicht-konvexer Gradientenflüsse

Biesenbach, Sarah; Westdickenberg, Maria Gabrielle (Thesis advisor); von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit werden (optimale) Konvergenzraten zweier nicht-konvexer Gradientenflüsse untersucht. Im Hauptteil dieser Arbeit setzen wir uns mit der eindimensionalen Cahn-Hilliard-Gleichung auseinander, die auch als $\dot{H}^{-1}$-Gradientenfluss der skalaren Ginzburg-Landau-Energie gelesen werden kann. Der Gradientenfluss wird sowohl auf einem eindimensionalen Torus ausgeprägter Länge, als auch auf ganz $\mathbb{R}$ betrachtet. Wir nehmen an, dass die Initialdaten einen endlichen (aber nicht zwingend kleinen) $L^1$-Abstand zu einer passend definierten Konfiguration mit zwei Transitionen in Form eines Plateaubergs haben (wichtig ist hier, dass ein Berg zwei Übergängen oder Abhängen entspricht, um bei einer Metapher zu bleiben). Unter dieser Annahme werden optimale zeit-algebraische Relaxationsraten hergeleitet. Unser Resultat erweitert die Relaxationsmethode, die ursprünglich in [F. Otto, S. Scholtes, Maria G. Westdickenberg, Optimal $L^1$-type relaxation rates for the Cahn-Hilliardequation on the line, SIAM J. Math. Anal. 51 (2019), no. 6, 4645-4682] für einen einzelnen Übergang (den "kink") entwickelt wurde, auf das Problem mit zwei Übergängen (den "bump"). Wir verwenden eine Energiemethode, die auf der Struktur des Gradientenflusses und den Beziehungen zwischen der Energie und der Energiedissipation basiert. Neben anderen Instrumenten spielen insbesondere Nash-ähnliche Ungleichungen, Dualitätsargumente und Schauder-Abschätzungen eine wichtige Rolle. Eine Herausforderung besteht unter anderem darin, dass aufgrund der Translationsinvarianz der Energiedifferenz zu Minimierern das Abfallen der Energie allein nicht hinreichend ist, den Minimierer, gegen den die Lösung konvergiert, zu identifizieren. Während bei der Betrachtung von "kinks" anhand der Masseerhaltung der Cahn-Hilliard-Gleichung der Grenzwert bestimmt werden kann, bedarf es bei der Betrachtung von "bumps" eines neuen Arguments. Auf dem Torus erarbeiten wir eine exponentielle Konvergenzrate für das Langzeitverhalten des Flusses. Auf $\mathbb{R}$ sind die bump-ähnlichen Zustände bloß metastabil und wir beschreiben das initiale Relaxationsverhalten unter der oben erwähnten optimalen Rate. Im Grenzverhalten strebt die Lösung auf $\mathbb{R}$ gegen $-1$. Im zweiten Teil der vorliegenden Arbeit untersuchen wir den Gradientenfluss bezüglich der $L^2$-Metrik der Möbiusenergie. Eine Łojasiewicz-Simon-Ungleichung und die Gradientenflussstruktur des Möbiusflusses werden angewendet, um eine obere Schranke an die Konvergenzrate herzuleiten, basierend auf der Arbeit in [S. Blatt, The gradient flow of the Möbius energy near local minimizers, Calc. Var. Partial Differential Equations, 43 (2012), no. 3-4, 403-439]. Weiterhin erklären wir ein mögliches Vorgehen, um eine optimale Konvergenzrate zu erhalten. Diese Ausführungen beinhalten eine Untersuchung der Hessischen der Energie und des Kerns der Hessischen um einen kritischen Punkt, sowie eine explizite Darstellung der Hessischen in [A. Ishizeki, T. Nagasawa, A decomposition theorem of the Möbius energy II: variational formulae and estimates, Math. Ann., 363 (2015), no. 1-2, 617-635] und einen Fourierkoeffizientenansatz. Für den Fall, dass der kritische Punkt ein Kreis ist, klassifizieren wir eine Teilmenge des Kerns.