Numerical methods for surface Navier-Stokes equations in stream function formulation

  • Numerische Methoden für Oberflächen-Navier-Stokes-Gleichungen in Stromfunktionsformulierung

Brandner, Philip; Reusken, Arnold (Thesis advisor); Grepl, Martin A. (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit werden Oberflächen-Stokes und Oberflächen-Navier-Stokes Probleme in Stromfunktionsformulierung auf einer einfach zusammenhängenden, orientierbaren, stationären Mannigfaltigkeit $\Gamma \subset \mathbb{R}^3$ ohne Rand behandelt. Auf der Stromfunktionsformulierung basierende Finite-Elemente-Methoden werden entwickelt, analysiert und numerisch untersucht. Wir stellen eine Vielzahl von Eigenschaften von Oberflächen-Differentialoperatoren vor und diskutieren knapp Herleitungen von Oberflächen-Navier-Stokes-Gleichungen. Für stationäre Probleme werden korrektgestellte Variationsformulierungen in den primitiven Variablen Geschwindigkeit und Druck vorgestellt. Korrektgestellte Stromfunktionsformulierungen werden hergeleitet. Diese können in ein gekoppeltes System bestehend aus zwei skalaren partiellen Oberflächen-Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die Stromfunktion und die Wirbelstärke umformuliert werden. Rekonstruierungsmöglichkeiten von Geschwindigkeit und Druck werden vorgestellt. Zur Diskretisierung der resultierenden Systeme wird eine parametrische Trace-Finite-Elemente-Methode angewendet. Eine Fehleranalyse für diese Diskretisierungsmethode wird am Beispiel von generalisierten Oberflächen-Stokes-Gleichungen präsentiert. Hierbei machen wir für das System von Stromfunktion und Wirbelstärke die vereinfachende Annahme, dass keine geometrischen Fehler aufgrund der Oberflächenapproximation auftreten. Des Weiteren stellen wir neue Fehleranalysen für die Rekonstruktionen von Geschwindigkeit und Druck vor, bei denen geometrische Fehler der Oberflächenapproximation berücksichtigt werden und die optimale Schranken für den Diskretisierungsfehler vorhersagen. Eine Druck-Robustheit-Eigenschaft der auf der Stromfunktionsformulierung basierenden Methode wird untersucht. Eine Vielzahl von numerischen Experimenten wird vorgestellt, um theoretische Ergebnisse zu bestätigen und um die Stromfunktionsformulierung weiter zu untersuchen. Des Weiteren präsentieren wir Ergebnisse von numerischen Simulationen, die verdeutlichen, dass die vorgestellte Methode mit geeigneten Parametereinstellungen auch optimale Konvergenzstudien für andere stationäre Probleme liefert, welche in dieser Arbeit behandelt wurden und für welche noch keine Fehleranalyse vorhanden ist. Wir untersuchen in der vorliegenden Arbeit auch zeitabhängige Probleme auf stationären Oberflächen. Neue, korrektgestellte Variationsformulierungen der instationären Oberflächen-Stokes-Gleichungen in den primitiven, Stromfunktions- und Stromfunktions-Wirbelstärke-Variablen werden hergeleitet. Für instationäre Oberflächen-Navier-Stokes-Gleichungen stellen wir Variationsformulierungen vor, die für Finite-Elemente-Diskretisierungen geeignet sind. Für beide instationären Probleme werden neue, auf der Stromfunktionsformulierung basierende Diskretisierungsmethoden präsentiert, welche (wie in den stationären Problemen) die parametrische Trace-Finite-Elemente-Methode für die Ortsdiskretisierung und eine Zeitdiskretisierung in Form eines BDF-Verfahrens zweiter Ordnung verwenden. Bei instationären Oberflächen-Navier-Stokes-Gleichungen benutzen wir für die Linearisierung eine Extrapolation zweiter Ordnung. Ergebnisse numerischer Studien werden vorgestellt, welche die Performance der auf der Stromfunktionsformulierung basierenden Methode illustrieren. Wir diskutieren die Dynamik von instationären Oberflächen(-Navier)-Stokes-Gleichungen und untersuchen zugehörige Phänomene numerisch. Alle Methoden sind mit Hilfe von ngsxfem implementiert worden, welches ein Add-On des Softwarepakets NGSolve ist.

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