On gradient flows of singular interaction energies on curves

Matt, Hannes; Westdickenberg, Michael (Thesis advisor); von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

In dieser Arbeit beweisen wir verschiedene Ergebnisse im Zusammenhang mit singulären integralen Interaktionsenergien auf Kurven und rektifizierbaren Mengen. Als Erstes betrachten wir im Wasserstein-Raum einen Fluss einer Energie, deren Gradient, zumindest formal gesehen, die Riesz-Transformation ist. Wir zeigen, dass zu geeignet regularisierten Energien Gradientenflüsse existieren und dass diese gegen einen Grenzfluss konvergieren. Wir zeigen außerdem das nachfolgende konditionale Resultat. Falls die Gradientenflüsse der regularisierten Energien und der Grenzfluss aus gleichmäßig rektifizierbaren Maßen besteht, dann erfüllt der Grenzfluss eine Kontinuitätsgleichung, die von der Riesz-Transformation angetrieben wird. Mit Hilfe von glatten und symmetrischen Funktionen wird die Singularität der Energiedichte abgeschnitten. Durch schrittweise Reduktion des verworfenen Anteils erhalten wir eine Familie von regularisierten Energien. Zu jeder dieser Energien erhalten wir durch das Lösen einer Kontinuitätsgleichung die Existenz eines Wasserstein-Gradientenflusses zusammen mit einer Energiedissipationsungleichung. Gleichmäßige Schranken an die Anfangsenergie in Verbindung mit dem Satz von Arzelà-Ascoli liefern im Grenzwert verschwindender Regularisierung dann einen Grenzfluss. Die zusätzlichen Annahmen erlauben schließlich auch in der Dissipationsungleichung zum Grenzwert überzugehen, woraus das konditionale Resultat folgt. Als Zweites betrachten wir einen Fluss der integralen Mengerkrümmung in einem Banachraum verknoteter Kurven. Geometrische Krümmungsenergien werden seit etwa drei Jahrzehnten in der Knotentheorie studiert und unter anderem als Klassifikationswerkzeuge verwendet. Im letzten Jahrzehnt wurde deren dynamisches Verhalten untersucht und die Existenz von Hilbert-Gradientenflüssen von verschiedenen Knotenenergien wurde gezeigt. In dieser Arbeit verlassen wir das Hilbertraum-Setting und beweisen die Langzeitexistenz von Gradientenflüssen einer Energie, die aus der Summe der integralen Mengerkrümmung und eines zusätzlichen Strafterms besteht, in einem Banachraum. Unser Ansatz folgt der Theorie der metrischen Gradientenflüsse. Mit Hilfe des zusätzlichen Strafterms, der auf dem 'logarithmic strain' einer Kurve basiert, liefern gleichmäßige Schranken an die Energie gleichmäßige Kontrolle über die Parametrisierung der Kurve. In Verbindung mit gleichmäßigen Schranken an die integrale Mengerkrümmung der Kurve erhalten wir eine gleichmäßige Kontrolle über die Bi-Lipschitz Konstanten der Kurve und bewahren so ihre Injektivität. Dadurch wird die Gesamtenergie schwach unterhalbstetig auf der Menge der injektiven und regulären Kurven und ein 'minimising movement' existiert. Indem wir einen Banachraum wählen, der etwas kleiner ist als der Energieraum der integralen Mengerkrümmung, erhalten wir kompakte Einbettungen und als Konsequenz die schwache Unterhalbstetigkeit der 'local slope' und damit die Existenz eines Gradientenflusses. Zuletzt berechnen wir noch die erste Variation der Mengerkrümmung auf Lipschitz-Graphen und reinterpretieren einen Fluss von Kurven als einen Fluss von Maßen.

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