Eisenstein series for the orthogonal group $O(2,n)$

  • Eisensteinreihen zur orthogonalen Gruppe $O(2,n)$

Schaps, Felix; Krieg, Aloys (Thesis advisor); Heim, Bernhard (Thesis advisor); Alfes-Neumann, Claudia (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene skalarwertige Eisensteinreihen zur orthogonalen Gruppe O(2,n), bei der das zugrunde liegende Gitter zwei hyperbolische Ebenen enthält. Wir betrachten die Fourier-Koeffizienten der Eisensteinreihen, die in Analogie zu elliptischen Eisensteinreihen, Jacobi-Eisensteinreihen bzw. Siegel-Eisensteinreihen definiert sind. Das Hauptaugenmerk liegt auf den Fourier-Koeffizienten der Siegelschen Eisensteinreihen für die Standardspitze. Für maximale Gitter beweisen wir die Rationalität der Fourier-Koeffizienten und dass sie zum Maaß-Raum gehören. Außerdem beweisen wir, dass die Ergebnisse für alle Lokalisierungen des Gitters gelten, die maximal sind. Dies gilt also auch für nicht-maximale Gitter mit Ausnahme endlich vieler lokalen Stellen. Der Fourier-Jacobi-Koeffizient des Index 1 erweist sich als Jacobi-Eisensteinreihe. Wir geben explizite Formeln für die Fourier-Entwicklung in einigen Fällen und Verbindungen zu anderen bekannten Eisenstein-Reihen an. Wir betrachten auch Eisensteinreihen vom Klingen-Typ, beweisen ihre absolute Konvergenz, beobachten ihr Verhalten unter dem Petersson-Skalarprodukt und beweisen, dass sie den Raum der Nicht-Spitzenformen erzeugen, zumindest wenn das Gitter euklidisch ist. Zum Schluss betrachten wir Hecke-Theorie zur O(2,n+2) und die Anwendung auf die Eisensteinreihen, welche nämlich Hecke-Eigenformen sind. Wir zeigen, dass die Eisensteinreihen die einzigen Nicht-Spitzenformen sind, die Eigenformen einiger Hecke-Operatoren sind. Schließlich zeigen wir mit Hilfe der Methoden von Heim und Krieg (2020), dass die Eisensteinreihen auch für nicht-maximale Gitter zum Maaß-Raum gehören.

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