Space-time trace finite element methods for partial differential equations on evolving surfaces

• Raum-Zeit-Spur-Finite-Elemente-Methoden für Partielle Differentialgleichungen auf sich bewegenden Oberflächen

Sass, Hauke; Reusken, Arnold (Thesis advisor); Lehrenfeld, Christoph (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit betrachten wir eine skalare Konvektions-Diffusions-Gleichung auf einer sich bewegenden Oberfläche, die die Surfactantkonzentration in einem Mehrphasenströmungssystem modelliert. Surfactants bezeichnen natürliche oder künstliche Verunreinigungen, die an der Phasengrenze adsobiert werden. Auf der Grundlage dieses parabolischen Modellproblems entwickeln und untersuchen wir effiziente Finite-Elemente-Methoden, die sowohl in diesem Modellproblem als auch in einer weitaus größere Klasse von partiellen Differentialgleichungen auf Oberflächen Anwendung finden. Wir formulieren unsere Differentialgleichung mit Hilfe von Oberflächendifferentialoperatoren in kartesischen Koordinaten. Dies ist für unsere numerischen Verfahren geeignet, insbesondere weil wir eine implizite Beschreibung der Geometrie wählen. Wir betrachten ein Variationsproblem, das unendlich dimensionale Funktionsräume verwendet, die in der Zeit unstetig sind. Dies ist ein guter Ausgangspunkt für eine Raum-Zeit-Finite-Elemente-Diskretisierung, die eine effiziente, zeitschrittweise Implementierung ermöglicht. Basierend auf dieser schwachen Raum-Zeit-Formulierung stellen wir volldiskrete, dem Hintergrundgitter nicht angepasste, Finite-Elemente-Methoden vor, die zeitlich unstetige und räumlich stetige Finite-Elemente nutzen. Es wird eine Raum-Zeit-Variante der parametrischen Spur-Finite-Elemente-Methode höherer Ordnung verwendet. Die Nulllösungen der Approximation einer Level-Set-Funktion definieren eine Lipschitz-stetige Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit, die die sich bewegende Oberfläche stückweise linear approximiert. Wir arbeiten mit einer implementierbaren parametrischen Abbildung, deren Bild eine Approximation höherer Ordnung der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit definiert. Die finiten Elemente aus einem höherdimensionalen, festen Hintergrundgitter werden für die Definition von Test- und Ansatzräumen verwendet. Wir beziehen eine Raum-Zeit-Variante der Volumen-Normalgradienten-Stabilisierung in die Bilinearform ein. Es stellt sich heraus, dass diese Stabilisierung für die theoretische Fehleranalyse und für die Konvergenz optimaler Ordnung in der Praxis entscheidend ist. Wir beschränken uns auf eine lineare Konfiguration und analysieren zwei Varianten dieser neu eingeführten Finite-Elemente-Methoden rigoros. Da die Approximation der Raum-Zeit-Oberfläche zwar stückweise glatt, aber global nur Lipschitz-stetig ist, wirft die Analyse einige zusätzliche Probleme auf, die in einer Situation mit global glatter Geometrie nicht vorhanden sind. Wir leiten mehrere neue Abschätzungen her, um mit unglatten Störungstermen umzugehen, die sich aus der partiellen Integration auf der diskreten Raum-Zeit-Oberfläche in der Analyse ergeben. Für zwei Methoden, von denen eine unsymmetrisch und die andere antisymmetrisch bezüglich der diskreten materiellen Ableitung ist, beweisen wir Wohlgestelltheit und Fehlerabschätzungen optimaler Ordnung in einer geeigneten Energienorm. Wir validieren unsere Fehleranalyse mit numerischen Experimenten, indem wir die entsprechenden Methoden mit Hilfe des Finite-Elemente-Pakets Netgen\NGSolve\ngsxfem implementieren. Aufgrund des dem Hintergrundgitter nicht angepassten Raum-Zeit-Frameworks sind unsere Methoden sehr robust gegenüber starken Verformungen und topologischen Singularitäten in der Geometrie. Wir veranschaulichen dies anhand verschiedener geeigneter Experimente. Weitere numerische Tests zeigen, dass unsere Finite-Elemente-Methoden höherer Ordnung ebenfalls ausgezeichnete Ergebnisse liefern.