Speed-controlling gradient flows for knot energies, and analyticity of critical knots

Steenebrügge, Daniel; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor); Wagner, Alfred (Thesis advisor); Blatt, Simon (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2023)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2023

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit werden für verschiedene Knotenenergien Gradientenflüsse und curves of maximal slope behandelt: Für die zu einem Hilbertraum assoziierten Unterfamilien von verallgemeinerter Mengerkrümmung und Tangenten-Punkt-Energie wird Langzeitexistenz solcher Flüsse bewiesen. Hierbei sorgt eine Projektion dafür, dass die Durchlaufgeschwindigkeit der Kurven erhalten bleibt. Für die erstgenannte Energiefamilie zeigen wir weiterhin Langzeitexistenz eines Gradientenflusses, bei dem die Kurve zu festen Zeitpunkten proportional zur Bogenlänge reparametrisiert wird. Dabei wird die Länge der Kurve zur Energie addiert. Weiterhin beweisen wir die Existenz von curves of maxinal slope für die vollen, nicht skalierungsinvarianten Energiefamilien von verallgemeinerter Mengerkümmung und Tangenten-Punkt-Energien sowie für die Knotenenergien von O'Hara, jeweils auf der gesamten positiven Halbachse. Dazu wird ein Term, der die Durchlaufgeschwindigkeit der Kurven kontrolliert, zur Energie hinzuaddiert, und wir arbeiten in kleineren Räumen, die kompakt in die jeweiligen zur Energie assoziierten Banachräume einbetten. Schließlich betrachten wir die kritischen Punkte der verallgemeinerten Mengerkrümmung mit assoziiertem Hilbertraum unter der Nebenbedingung fixer Länge. Deren Analytizität wird über die Cauchysche Methode der Majoranten bewiesen. Wir erläutern kurz einige für die geometrische Knotentheorie relevante Konsequenzen dieses Ergebnisses. In Vorbereitung auf die obigen Resultate wird sowohl $C^{1,1}_{\mathrm{loc}}$-Regularität der verallgemeinerten Tangenten-Punkt-Energien als auch stetige Differenzierbarkeit von O'Haras Knotenenergien bewiesen. Weiterhin ist eine ausführliche Sammlung von Aussagen zu den im Kontext von Knotenenergien relevanten periodischen Sobolev-Slobodeckiǐräumen enthalten.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Mathematik (Analysis) [111810]