GENERIC, structure preserving integrators and hyperbolic partial differential equations of hydrodynamic type

Siccha, Nikolas; Torrilhon, Manuel (Thesis advisor); Westdickenberg, Michael (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022, 2023)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

Sowohl hyperbolische partielle Differentialgleichungen (PDEs) als auch das GENERIC-Framework (General Equation for Non-Equilibrium Reversible-Irreversible Coupling) sind in der Kontinuumsmechanik allgegenwärtig und auf sehr ähnliche Problembereiche anwendbar. Insbesondere Systeme von Erhaltungsgleichungen erster Ordnung waren schon immer eng mit der Gasdynamik verbunden, die als Ausgangspunkt für das GENERIC-Framework diente. Während jedoch viel mathematische Theorie für hyperbolische PDEs entwickelt wurde, zeichnet sich das GENERIC-Framework hauptsächlich durch seine Anwendung bei der Modellierung thermodynamischer Systeme im Nichtgleichgewicht aus. Dort erleichtert es die Entwicklung thermodynamisch kompatibler Evolutionsgleichungen, während es gleichzeitig dem reversiblen Teil der Evolutionsgleichung die strengen Einschränkungen von Poisson-Strukturen auferlegt. Das ursprüngliche Ziel meiner Doktorarbeit war es, den genauen Zusammenhang zwischen diesen beiden unterschiedlichen Theorien zu untersuchen. Dazu gab es zunächst zwei Hauptfragen:* Wann impliziert ein System, das GENERIC ist, Hyperbolizität?* Wann impliziert Hyperbolizität die Existenz einer GENERIC-Formulierung? Des Weiteren stellte sich, inspiriert durch aktuelle Forschung, eine weitere Frage:* Wie können strukturerhaltende Integratoren die numerische Lösung von GENERIC-Systemen erleichtern? Folglich gliedern sich die Ergebnisse in zwei unterschiedliche, aber verwandte Gruppen. Es ist bekannt, dass im glatten Regime viele hyperbolische PDEs als zeitreversible unendlichdimensionale Hamiltonsche Systeme betrachtet werden können, während diese Eigenschaft bei Vorhandensein von Diskontinuitäten im Allgemeinen verloren geht. Dies legt nahe, den Zusammenhang zwischen hyperbolischen PDEs und dem reversiblen Teil von GENERIC-Systemen zu untersuchen, und tatsächlich konnten wir zeigen, dass der irreversible Teil von GENERIC-Systemen im Allgemeinen keine Terme erster Ordnung zur Evolutionsgleichung beitragen kann. Folglich waren wir in der Lage, die umfangreichen Arbeiten zu hydrodynamischen Poisson-Systemen zu nutzen, einschließlich neuerer Klassifikationsergebnisse für eine geringe Anzahl von räumlichen Dimensionen und eine geringe Anzahl von abhängigen Variablen, um Kombinationen von Differentialoperatoren und Hamilton-Funktionalen zu klassifizieren. Diese Ergebnisse liefern Bedingungen für das Hamilton-Funktional, welche die Hyperbolizität der resultierenden PDEs garantiert oder ausschließt. Zweitens haben wir eine Familie von superkonvergenten, reversible-irreversiblen numerischen Integratoren beliebiger Ordnung basierend auf der diskontinuierlichen Galerkin (dG)-Zeitschrittmethode entwickelt und sie sowohl für GENERIC ODEs als auch für PDEs getestet. Ziel war es, ein Verfahren zu erhalten, das die Vorteile reversibler Integratoren für reversible Probleme und die günstigen Eigenschaften der dG-Methoden für irreversible und steiffe Probleme wie die Wärmeleitungsgleichung vereint. Basierend auf einer einfachen und leicht zu berechnenden Heuristik (der lokalen Dissipationsrate der freien Energie) ist unsere Methode in der Lage, die charakteristische L-Stabilität und Superkonvergenz der dG-Methode für rein irreversible Probleme beizubehalten, während sie für reversible Probleme A-Stabilität, Zeitreversibilität und eine erhöhte Konvergenzordnung liefert. Bei reversible-irreversiblen Problemen wird das qualitative Verhalten der Lösung (gemessen in der Dissipationsrate der freien Energie) im Allgemeinen besser für große Zeitschritte durch unsere Methode erfasst als durch die rein reversible oder die standardmäßige (rein irreversible) dG-Methode, während das quantitative Verhalten der Lösung für kleiner werdende Zeitschrittweiten gegen das rein reversible dG-Verfahren höherer Ordnung konvergiert.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Angewandte und Computergestützte Mathematik [115010]