Evaluation of the bilinear collision operator of the Boltzmann equation with the irreducible Burnett Ansatz

• Evaluation des Bilinearen Kollisionsoperators der Boltzmanngleichung mit dem Irreduziblen Burnett Ansatz

Hanke, Andrea; Torrilhon, Manuel (Thesis advisor); Fourier, Ghislain Paul Thomas (Thesis advisor); Gamba, Irene (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2023)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2023

Kurzfassung

Die numerische Lösung der Boltzmanngleichung ist Gegenstand aktueller Forschung. Es gibt bereits Ergebnisse basierend auf dem spektralen Fourier Ansatz von Pareschi & Russo (2000) und Gamba & Tharkabhushanam (2009), basierend auf dem spektralen Hermit-Ansatz eingeführt von Grad (1949), sowie von Cai, Torrilhon (2015), welche den Kollisionsoperator linearisieren. Wang & Cai konnten vor kurzem (2019) den bilinearen Kollisionsoperator basierend auf dem spektralen Hermit-Ansatz berechnen. Allerdings ist diese Methode rechenintensiv. Mit dem Ziel, den Rechenaufwand zu verringern, haben Cai & Fan & Wang (2020) einen effizienteren Algorithmus basierend auf dem spektralen Burnett-Ansatz entwickelt und implementiert. Dieser neue Ansatz wurde bereits analytisch (Kumar 1966) und numerisch (Gamba 2018) untersucht. Inspiriert durch Struchtrups (2005) Tensoransatz für den Kollisionsoperator in Gleichung 6.35 aus "Macroscopic Transport Equations for Rarefied Gas Flows: Approximation Methods in Kinetic Theory" haben wir eine andere Herangehensweise zur Berechnung der spektralen Burnett-Näherung von Boltzmanns Kollisionsoperator gewählt. Der Hauptunterschied liegt in der Ausnutzung von Merkmalen der Basis, die an die irreduziblen Unterräume bezogen auf die orthogonale Gruppe des Polynomraums angepasst ist, da die Basis aus reellen Kugelflächenfunktionen multipliziert mit Laguerre-Polynomen besteht. Während in dieser Arbeit auch die vorwiegend analytische Berechnung von Kollisionskoeffizienten für eine Vielzahl von Potentialen dargestellt wird, liegt der Schwerpunkt auf dem mit Hilfe von Darstellungstheorie entwickelten Verständnis dieser Koeffizienten. Dieses Verständnis dient als Inspiration für einen Algorithmus, der als c++ Code implementiert wurde, um die numerische Lösung der ortsraumhomogenen Boltzmanngleichung für jede Verteilung zu berechnen. Durch die Nutzung der Eigenschaften der irreduziblen Unterräume können wir im Vergleich zu den vorherigen Arbeiten den Speicher- und Rechenzeitaufwand für die Berechnung der numerischen Lösung deutlich reduzieren. Dies können wir aufgrund der Eindeutigkeit linearer Abbildungen bis auf Konstante zwischen den irreduziblen Unterräumen erreichen. Die Darstellungstheorie ermöglicht es uns, den Kollisionstensor in zwei Teile zu zerlegen und alle solche bilinearen Abbildungen zu identifizieren, welche aufgrund der mathematischen Eigenschaften der betreffenden irreduziblen Unterräume Nullabbildungen sind.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Angewandte und Computergestützte Mathematik [115010]