Einklassige Geschlechter von Gittern über Maximalordnungen in definiten schiefhermiteschen Räumen über indefiniten rationalen Quaternionenalgebren ungerader Diskriminante

• Single-class genera of lattices over maximal orders in definite skew-hermitian spaces over indefinite rational quaternion algebras of odd discriminant

Pawelzik, Nils Malte; Nebe, Gabriele (Thesis advisor); Kirschmer, Markus (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2023)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2023

Kurzfassung

Gegenstand der vorliegenden Dissertation ist die Klassifikation einklassiger Geschlechter von Gittern, also der Gitter, für die an allen Komplettierungen lokal geltende Isometrie stets globale Isometrie impliziert, zu Maximalordnungen in definiten schiefhermiteschen Räumen über indefiniten rationalen Quaternionenalgebren ungerader Diskriminante. Ausgangspunkt sind die Klassifikationen der einklassigen Geschlechter vom Rang ≥ 3 zu definiten quadratischen Formen über total-reellen Zahlkörpern von Markus Kirschmer und David Lorch bzw. der ein- und zweiklassigen Geschlechter über hermiteschen definiten Formen von Markus Kirschmer. Dahingehend ist diese Arbeit die erste in die Richtung des letzten verbleibenden offenen Falls der einklassigen Geschlechter in schiefhermiteschen Räumen über Quaternionenalgebren. Zunächst wird der unäre Fall auf die Ordnungen in imaginärquadratischen Zahlkörpern, für deren Diskriminante das Hauptgeschlecht der binären quadratischen Formen einklassig ist, zurückgeführt, wobei diese unter der Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung bekannt sind. Danach werden für den mindestens binären Fall aus der Maßformel nach Wee Teck Gan und Jiu-Kang Yu samt ihrer lokalen Faktoren Abschätzungen formuliert und Algorithmen entwickelt, um die möglichen schiefhermiteschen Räume und darin die einklassigen Geschlechter aufzustellen. Abschließend werden die Ergebnisse dieser Methoden über Angabe von Geschlechtssymbolen präsentiert. Dabei zeigt sich im nicht unären Fall, dass einklassige Geschlechter in definiten schiefhermiteschen Räumen über indefiniten rationalen Quaternionenalgebren ungerader Diskriminante nur dann existieren können, wenn die Dimension 2 beträgt und die Menge der verzweigten Stellen eine zweielementige Teilmenge von {3, 5, 7, 13} ist. Insgesamt ergeben sich 206 Ähnlichkeitsklassen von einklassigen Gittern bzw. Geschlechtern.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (Algebra) [114820]