Degenerations of symplectic flag varieties via Lie theory and tropical geometry

• Degenerationen symplektischer Fahnenvarietäten durch Lie-Theorie und tropischer Geometrie

Balla, George; Fourier, Ghislain Paul Thomas (Thesis advisor); Markwig, Hannah (Thesis advisor); Littelmann, Peter (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2023)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2023

Kurzfassung

In dieser Arbeit untersuchen wir flache Degenerationen projektiver Varietäten. Unsere Methoden basieren auf der Lie-Theorie, der tropischen Geometrie und der Kombinatorik. Insbesondere betrachten wir symplektische Fahnenvarietäten, die als homogene Räume entsprechend der symplektischen Lie-Gruppe verstanden werden können. Im ersten Teil behandeln wir flache Degenerationen, die durch Lie-theoretische Methoden entstehen. Diese werden konstruiert, indem zugehörige graduierte Räume berücksichtigt werden, die induzierten Poincaré-Birkoff-Witt (PBW)-Filtrationen auf einfachen Modulen mit dem höchsten Gewicht für die symplektische Lie-Algebra entsprechen. Solche Degenerationen werden PBW-Degenerationen genannt. Die entsprechenden symplektischen degenerierten Fahnenvarietäten wurden von Feigin, Finkelberg und Littelmann untersucht, die gezeigt haben, dass es sich bei diesen Varietäten um normalen lokal vollständigen Schnitte mit rationalen Singularitäten und Frobenius-Spaltung handelt. Darüber hinaus wurde gezeigt, dass diese Varietäten als Schubert-Varietäten in bestimmten symplektischen Fahnenvarietäten für eine symplektische Gruppe höheren Ranges realisiert werden können. Wir betrachten die Plücker-Einbettung dieser Varietäten und geben eine vollständige Beschreibung ihres definierenden Ideals unter dieser Einbettung. Wir verwenden die Kombinatorik bestimmter Analoga von Young-Tableaux, sogenannte PBW-Tableaux, die eine gewichtete Basis des homogenen Koordinatenrings kennzeichnen. Es ist nicht immer wahr, dass die PBW-Degenerationen mit Subvarietäten kompatibel sind. Wir charakterisieren vollständig symplektische Schubert-Subvarietäten, die diese Kompatibilität in Bezug auf symplektische Weyl-Gruppenelemente zulassen. Im zweiten Teil verwenden wir tropische Methoden, um allgemeinere flache Degenerationen zu konstruieren, die sich auf die oben diskutierten spezialisieren. Diese Degenerationen werden durch einen maximalen Primärkegel der tropischen symplektischen Fahnenvarietät gekennzeichnet. Die PBW-Tableaux sind in dieser Situation immer noch eine Basis für den homogenen Koordinatenring und wir verwenden ihre Kombinatorik in unseren Konstruktionen. Wir zeigen, dass jeder Punkt im relativen Inneren des obigen maximalen Kegels einer flachen Degeneration in eine torische Varietät entspricht, die mit dem Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg-Polytop verbunden ist. Nebenbei untersuchen wir in ihrem eigenen Interesse tropische symplektische Grassmann-Varietäten, die Bausteine für tropische symplektische Fahnenvarietäten sind, und liefern eine vollständige Charakterisierung.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Algebra und Darstellungstheorie [114410]